八数码问题有解条件&推广N×N，N×N×N

对于简单的八数码（3*3）

一般的目标状态是这样的（我们把矩阵表示为序列，0表示空格）：
1 2 3
4 5 6
7 8 0
即：
123456780

对于每个状态定义一个逆序：除0以外的数字的逆序对数目

抛出结论：两个状态可以达，当且仅当两个状态序列逆序奇偶性相同

简单证明必要性：
对于空格的移动，左右移动不会影响逆序，上下移动导致被替换数字跨过两个数字，这两个数字可能都比它大，可能都比它小，可能一大一下，相应的对逆序造成的影响为：+2，-2，不变。因此得证。

对于N*N的矩阵

容易发现，N为奇数的时候与八数码问题相同

那么对于偶数：
譬如：N=4的时候：
对于空格的移动，左右移动不会影响逆序，上下移动导致被替换数字跨过3个数字，对逆序造成的影响为：+3，-3，+1，,-1。我们发现，奇偶性一定改变，不一定有解也不一定无解。

举个例子：
目标状态：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B C
D E F 0

状态1（无解）：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B 0
C D E F

以上状态是一个无解的状态（将C移到了第四行）。该状态的逆序为0，和原始状态相同，但是它的空格位置在第三行。若将空格移到第四行，必然使得它的逆序±1或±3，奇偶性必然改变。所以它是一个无解的状态。

然而以下状态就是一个有解的状态（交换了前两个数字1 2）：

状态2（有解）：
2 1 3 4
5 6 7 8
9 A B 0
C D E F

这个状态的逆序为1，和原始状态奇偶性不同，而空格位置在第三行。由于空格每从第三行移动到第四行，奇偶性改变。则该状态的可到达原始状态。

通过观察发现，得出结论：
1.N×N的棋盘，N为奇数时，与八数码问题相同。

2.N为偶数时，空格每上下移动一次，奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离（不计左右距离），若两个状态的可相互到达，则有两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数，或者，逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。

也就是说，当此表达式成立时，两个状态可相互到达：（状态1的逆序数 + 空格距离)的奇偶性==状态2奇偶性。

对于N*N*N矩阵

三维的结论和二维的结论是一样的。

考虑左右移动空格，逆序不变；同一层上下移动空格，跨过N-1个格子；上下层移动空格，跨过N^2-1个格子。

当N为奇数时，N-1和N^2-1均为偶数，也就是任意移动空格逆序奇偶性不变。那么逆序奇偶性相同的两个状态可相互到达。

当N为偶数时，N-1和N^2-1均为奇数，也就是令空格位置到目标状态空格位置的y z方向的距离之和，称为空格距离。若空格距离为偶数，两个逆序奇偶性相同的状态可相互到达；若空格距离为奇数，两个逆序奇偶性不同的状态可相互到达。