[施工...][业界良心]数论

1.整除

整除的概念

a,b∈Z，如果存在一个整数 q，使a=b⋅q 成立，则称“a能被 b 整除”或“b 整除 a”，记做b∣a，否则记做b∤a。

带余除法定理

设a,b∈Z，则存在唯一的整数 q 和 r，使得a=b⋅q+r
其中r∈[0,|b|)。
也就是a/b=q,a%b=r。

性质

• 若 a∣b,b∣c，则 a∣c
  证明：
  a∣b⇒b=q1⋅a
  b∣c⇒c=q2⋅b
  ∴c=q1⋅q2⋅a
  ∴a∣c

• 若d∣a,d∣b，则对于∀x,y∈Z，有d∣(a⋅x+b⋅y)
  证明：
  d∣a⇒a=q1⋅d
  d∣b⇒b=q2⋅d
  ∴(a⋅x+b⋅y)=q1⋅d⋅x+q2⋅d⋅y=d⋅(q1⋅x+q2⋅y)
  ∴d∣(a⋅x+b⋅y)

• 若a∣b 且 b≠0，则|a|≤|b|
  证明 :
  a∣b⇒b=q⋅a(q∈Z,q≠0)
  ∴|b|=|q⋅a|=|q|⋅|a|
  又∵|q|≥1
  ∴|a|≤|b|

• 若a∣b 且 b∣a，则|a|=|b|≠0
  证明：
  a∣b⇒b=q1⋅a
  b∣a⇒a=q2⋅b
  显然成立。

• 若a∣b且|b|<|a|，则b=0。

• 若a,b∈Z，且 a2∣b2，则a∣b
  证明：反证法
  ∵a2∣b2，则存在k∈Z且k>0，使b2=k⋅a2
  ∴k=a2b2⇒k√=ab
  ∴ 如果a∣b，那k√∈Z，那 k 就是完全平方数
  假设 k 不是完全平方数， 则k√ 是无理数
  但是k√=ab，k√ 既然能表示成分数，那就肯定不是无理数
  所以假设不成立，k 是完全平方数
  ∴k√∈Z
  ∴a∣b

2.最大公约数和最小公倍数

定义

最大公约数

设 a,b,m∈Z，若m∣a 并且m∣b，则称 m 是 a,b 的公约数。

若 a,b 不全等于 0，则存在一个最大的 m，这个最大的 m 叫做 a,b 的最大公约数。

在数学中记做m=(a,b)，在OI中可以表示为 gcd(a,b)=m

特别的，如果gcd(a,b)=1，则称 a,b 互质。

对于任意的a∈N+，都有gcd(a,1)=1

最小公倍数

设 a,b,m∈Z，若a∣m 并且b∣m，则称 m 是 a,b 的公倍数。

在 a,b 的所有公倍数中，最小的那个叫做 a,b 的最小公倍数。

在数学中记做m=[a,b]，在OI中可以表示为 lcm(a,b)=m

定理

• 对于∀m∈Z，若m≠0，则gcd(m,0)=|m|

• 若 m,n 不全等于 0，则gcd(m,n)≥1

• 若 m∣n，则gcd(m,n)=m

• 欧几里得算法（辗转相除法）

设a,b 是不为 0 的整数，且a=b⋅q+r，则gcd(a,b)=gcd(b,r)
也就是gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

根据这个可以写出求 gcd 的递归代码

int gcd(int a,int b) {    return !b?a:gcd(b,a%b);}

迭代当然可以

int gcd(int a,int b) {    while(b!=0) {        int r=b;        b=a%b;        a=r;    }    return a;} 

或者直接用std

#include<algorithm>using namespace std;__gcd(a,b)

写完代码来干一些奇奇怪怪的事情，我们来证明一下这个的正确性。

证明：

设d=gcd(a,b),d1=gcd(b,r)
那要证明这个定理，就只需要证明 d=d1

∵d1=gcd(b,r)
∴d1∣b,d1∣r
∴b=k1⋅d1,r=k2⋅d1
又∵a=b⋅q+r
∴a=q⋅k1⋅d1+k2⋅d1=d1⋅(q⋅k1+k2)
∴d1∣a
又∵d1∣b
∴d1 是 a,b 的公约数
∴d1≤d
用相同的思路，在把d 处理一下，
∵d=gcd(a,b)
∴d∣a,d∣b
∴a=k1⋅d,b=k2⋅d
又∵a=b⋅q+r
∴r=a−b⋅q=k1⋅d−q⋅k2⋅d=d⋅(k1−q⋅k2)
∴d∣r
又∵d∣b
∴d 是 b,r 的公约数
∴d≤d1
又∵d1≤d
∴d=d1

• 扩展欧几里得算法（裴蜀定理）（x,y的线性丢番图方程）

挖个坑先。