Logistic回归损失函数证明

在理解Logistic回归算法原理中我们指出了Logistic回归的损失函数定义（在这里重新约定符号）：
对于单个样本而言，令为样本的期望输出，记为y；为样本的实际输出，记为y_hat，那么Logistic回归的损失函数就可以表示为：

而对于全体样本集的成本函数，就可以表示为：

与损失函数不同的是，它描述了在全体样本上集上，模型的参数w和b与优化目标之间的关系，在这两个公式中，成本函数其实是损失函数的平均值。

那么我们先看一下对于损失函数而言，为什么它能发挥作用：

如果期望输出y=1，那么优化目标为min L(y,y_hat)=min[-log(y_hat)]，显然此时y_hat的越大，优化目标会得到最小值；
如果期望输出y=0，那么优化目标为min L(y,y_hat)=min[-log(1-y_hat)]，显然此时y_hat的越小，优化目标会得到最小值；

下面证明下这个损失函数是怎么来的：
Logistic回归模型如下：

那么令y_hat为给定x的情况下y=1的概率：

那么则有：

由于是个二分类问题，y的值非1即0，那么合并上式就可得到：

同时由于log函数是严格单调递增的函数，在机器学习中，我们往往不太关注log的底数到底是什么，甚至直接省略掉，所以出现了log的写法，但是在数学中这样写是错的。所以，为了后续求解方便，我们可以取对数：

而对于成本函数来说，他对于整个训练集优化w和b，所以就有了这个上面出现过的式子：

在这里其实是可以用最大似然估计的方法来求这个解的，但是在实际的优化中，我们往往直接使用梯度下降法。