并查集——路径压缩

• 关于Rank的优化

上文中我们已经对代码进行了几次优化，使得进行连接操作的时候，所形成的树长度尽量短，但同时也存在另一种情况：集合元素多，但是每个元素分别指向根节点，这样就只有两层（举例），那么就应该把这棵树的根节点指向另一棵高树的根节点，就出现了所谓的“集合元素多，但是树长度短“的情况，因此，应当首先考虑树的高度，而非树的元素量。

进行如下优化：

class unionFind{private:int* parent;int* rank;//记录树的高度 int count;public:UnionFind(int count){parent=new int[count];rank=new int[count];this->count=count;for(int i=0;i<count;i++){ parent[i]=i;rank[i]=1;   //初始高度都为1 } }~unionFind(){delete [] parent;delete [] rank;}int find(int p){assert(p>=0&&p<count);while(p!=parent[p])p=parent[p];return p;}bool isConnected(int p,int q){return find(p)==find(q);}void unionElements(int p,int q){int pRoot=find(p);int qRoot=find(q);if(pRoot==qRoot)return;if(rank[pRoot]<rank[qRoot]){   //两棵树一高一低，连接后高度与高树保持一致 parent[pRoot]=qRoot;}if(rank[pRoot]>rank[qRoot]){parent[qRoot]=pRoot;}else{//两棵树高度一样，连接后高度加一 parent[qRoot]=pRoot;rank[qRoot]++;}}};

• 路径压缩（Path Compression）

int find(int p){if(p!=parent[p])parent[p]=find(parent[p]);return parent[p]; }

注意：递归会耗费一定时间，视情况选择路径压缩的程度。此种路径压缩完毕后，形成的是一棵高度为2的树，每个元素指向根节点。

相应地，也有一种不太彻底的路径压缩方法：

int find(int p){assert(p>=0&&p<count);while(p!=parent[p]){ parent[p]=parent[parent[p]]; p=parent[p];} return p; }

并查集的时间复杂度近乎为O（1）