<1> 程序的复杂性分析

1 . 什么是程序的复杂性？

我们在写某些算法、或者某些程序片段的时候应该在Coding之前对自己的代码需要有一定的预估。比如我们如果写个排序被执行了“1”年，或者我们的代码最终生成的可执行文件超过了1G，相信任何一个产品经理都会直接恼火。所以，程序的复杂性在我理解，就是程序（算法、逻辑代码等）在空间资源和时间资源两个方面的消耗程度。

2 . 四个数学定义

··· 定义1：如果存在常数c和n0，使得当N>=n0时T（N）<=cf（N）, 则记为T（N）= O（f（N））

··· 定义2：如果存在常数c和n0，使得当N>=n0时T（N）>=cg（N）,则记为T（N）= Ω（g（N））

··· 定义3：T（N）= θ（h（N）），当且仅当T（N）-O（h（N））且T（N）= Ω（h（N））

··· 定义4：如果T（N） = O（p（N））且T（N）/ θ（p（N）），则T（N） = O（p（N））

这是《数据结构与算法-C语言描述》中的四个数学定义，鉴于自己的数学能力，感觉挺晦涩难懂的。不管怎么样，其实这些定义的目的就是给在函数间能够建立起一种级别关系，能够让函数之间的效率进行理论上的对比。

第一种可以这么认为：T（N）的增长率小于等于f（N）的增长率

第二种可以这么认为：T（N）的增长率大于等于f（N）的增长率

第三种可以这么认为：T（N）的增长率等于f（N）的增长率

第四种可以这么认为：T（N）的增长率小于f（N）的增长率

3 . 例子

3 . 1 一个小程序的分析

#include <iostream>using namespace std;int sum( int N ){int total = 0;for (size_t i = 0; i < N; i++)total += i*i*i;return total;}int main(){int N;cin >> N;cout << sum(N) << endl;cin.get();}

上面是一个计算从0到N的立方和。在函数Sum的函数体里边，一共有4行代码。第一行是一个声明、初始化赋值操作，可以认为占用了1个时间单元（大概时间单元的意思就是在执行Sum函数的步骤数？），For循环的循环体里边有四次操作，分别是两个乘法，1个加法，1个赋值，可以认为是占用了4个时间单元，那么执行N次，就是占用了4N个时间单元，最后有个return操作，又占用了1个时间单元。到目前为止一共是：1 + 4N + 1。但是，在For循环的循环结构里，还有i<N的比较操作，以及i++的自增操作，存在隐含的时间消耗，以及初始化的时间开销是1个单元。（i<N被比较N+1次，i++自增N次）。综上，一共是1+4N+1+N+1+N+1 = 6N+4。该函数可以认为是O（N），之所以不是一个常数的原因是，N并不确定，所以是线性级。

3 . 2 一般的规律

对于1个For循环，运行时间是O（N），两个嵌套的For循环，运行时间是O（N的平方），三个嵌套的For循环，运行时间是O（N的立方）··· 以此类推。对于一个顺序语句，其中执行时间最长的程序片段为该顺序语句的运行时间。比如一个For循环，接着一个一个嵌套的For循环，那么总运行时间还是O（N的平方），而不是O（N的平方）+ O（N），取次数最高的项。至于条件语句，就是判断时间和条件语句的执行体的执行体的总时间。