HDU 2829 Lawrence（四边形不等式优化DP）

来源：互联网发布：楼房平面图设计软件编辑：程序博客网时间：2024/05/21 20:21

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题意：铁路上有n个站点，每个站可以往其他站运送粮草，现在要炸掉m段铁路（两个站点之间为一段）使得粮草补给之和最小，剩余每块连通铁路的粮草补给Strategic Value计算方法见题目，不再累赘。

思路：动态规划问题，用dp[i][j]表示前j个站点炸掉i段得到的最小值。

状态转移方程与前篇POJ 1160 Post Office问题类似：dp[i][j] = min（dp[i - 1][k] + cost[k + 1][j]），i < j且i <= k < j，表示前k个站点炸掉i - 1段，第k个站点与第k + 1个站点之间的铁路炸掉，cost[u][v]表示在连通的前提下，第u个点到第v个点之间的相应Strategic Value。时间复杂度为：O（M*N^2），由于此题数据规模为10^3，肯定会超时，这样就不能按照POJ 1160一样没有优化了。

此题用到的为四边形不等式优化dp，先介绍一下。

在动态规划中，经常遇到如下形式的状态转移方程：

dp[i][j] = min/max（dp[i][k - 1]，dp[k][j]）+ cost[i][j]，i < j且i < k ≤ j，时间复杂度为O（N ^ 3）

上述的dp[i][j]表示某种方案下的最优值，cost[i][j]表示在转移时需要额外付出的代价。

且有如下一些定义、定理：

（1）四边形不等式

如果一个函数cost[i][j]，满足 cost[i][j] + cost[i'][j'] <= cost[i][j'] + cost[i'][j]，i <= i' < j <= j'，则称cost满足凸四边形不等式。（可以形象的理解为两个交错区间的cost的和不超过小区间与大区间的cost的和）

（2）区间包含的单调性

如果一个函数cost[i][j]，满足 cost[i'][j] <= cost[i][j']，i <= i'< j <= j' 则称cost关于区间包含关系单调。（可以形象的理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的cost不超过大区间的cost）

定理1：如果cost同时满足四边形不等式和区间单调关系，则dp也满足四边形不等式。

我们再定义K[i][j]表示dp[i][j]取得最优值时对应的下标（即当i < k ≤j 时，若k处的dp值为最优值，则K[i][j] = k）。此时有如下定理

定理2：假如dp满足四边形不等式，那么K单调，可以表示为K[i][j-1] <= K[i][j] <= K[i+1][j]或者K[i - 1][j] <= K[i][j] <= K[i][j + 1]等，此处可以根据需要表示，只要符合K单调即可。

定理2是四边形不等式优化的关键所在，它说明了决策具有单调性，然后我们可以据此来缩小决策枚举的区间，进行优化。

定理3：cost为凸当且仅当 cost[i][j] + cost[i+1][j+1] <= cost[i+1][j] + cost[i][j+1]。

几点说明：

1：相关证明数学性较强，资质有限，不再详述。

2：其实定理3告诉我们了验证cost是否满足凸四边形不等式的一个简单方法，一方面i'具体为i + 1、j'具体为j + 1，另一方面，我们具体判断时可以进行式子变形，然后固定一个变量，看成是一个一元函数，进而判断单调性，具体如，我们可以把原式cost[i][j] + cost[i'][j'] <= cost[i][j'] + cost[i'][j]变形为cost[i + 1][j + 1] - cost[i + 1][j] <= cost[i][j + 1] - cost[i][j]，然后固定j，看coat[i][j+1] - cost[i][j]是关于i递增还是递减，如果是递减，则cost为凸。

3：根据dp方程的形式以及cost函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式优化。实际操作中，大多并不需要证明，只需要打表，然后观察cost[i][j]是否满足四边形不等式、是否单调即可。

优化后的状态转移方程可以写为：dp[i][j] = min/max（dp[i][k - 1]，dp[k][j]）+ cost[i][j]，i < j且K[i][j-1] <= k <= K[i+1][j]或者K[i - 1][j] <= k <= K[i][j + 1]等，时间复杂度为O（N ^ 2）。

再回来看此题，dp[i][j] = min（dp[i - 1][k] + cost[k + 1][j]），i < j且i <= k < j，和上面的式子很相似，那么cost[i][j]满足两个性质吗？因为都是正数，区间越大，相乘项越多，所以区间包含单调性显而易见；四边形不等式性质不易推导，不过经打表可以看出单调性，所以四边形不等式优化适用此题。

// HDU 2829 Lawrence 运行/限制：171ms/1000ms#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3f#define LL long longLL value[1005];LL sum[1005];//前缀和，用于计算costLL cost[1005][1005];//cost[i][j]为从i站台到j站台铁路之间的Strategic ValueLL dp[1005][1005];int s[1005][1005];int main(){int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF && n && m) {memset(sum, 0, sizeof(sum));memset(cost, 0, sizeof(cost));for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lld", &value[i]);sum[i] = sum[i - 1] + value[i];//计算前缀和}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {cost[i][j] = cost[i][j - 1] + (sum[j - 1] - sum[i - 1]) * value[j];//计算cost}}/*固定j为n - 1，得到cost[i][j + 1] - cost[i][j]随i单减，满足凸四边形不等式；for (int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d\n", cost[i][n] - cost[i][n - 1]);}又很容易看出cost关于区间包含关系单调，所以四边形不等式优化dp适用。*/memset(dp, INF, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; i++) {//先预处理一些边界值dp[0][i] = cost[1][i];s[0][i] = 1;s[i][n + 1] = n - 1;}//以下的循环体，当i = 1或者j = n时为边界，上面循环体内就是为了处理这些边界for (int i = 1; i <= m; i++) {//attack的数量for (int j = n; j > i; j--) {//1~j的站台；j要大于ifor (int k = s[i - 1][j]; k <= s[i][j + 1]; k++) {//单调性if (dp[i][j] > dp[i - 1][k] + cost[k + 1][j]) {dp[i][j] = dp[i - 1][k] + cost[k + 1][j];s[i][j] = k;}}}}printf("%lld\n", dp[m][n]);}    return 0;}

POJ 1160也可以利用四边形不等式优化，只不过因为数据范围较小，无优化必要。

初学四边形不等式优化dp算法，相关思路参考自：

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