迪潘指标线

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迪潘指标线

 r[u_,v_]:={Sin[u],Sin[v],Cos[u+v]}

曲面r[u,v]上一点P，P是正则点，也就是说，曲面在P点的位置上，有唯一的切平面。
以P为原点，把过P的u曲线和v曲线在P点的切向量ru和rv作为基向量，那么切平面上的每一个点，都可以用ru和rv来表示。
注意，ru和rv的夹角未必是直角。
过P有无数个平面和切平面正交，选择其中一个法平面，与曲面r[u,v]相交，得到一条曲线，称为曲面的一条法截线；
法截线与切平面的交线，是法截线的切线；、
切线的方向，记为d；
设这条法截线的曲率是kn，称为曲面在P点、d方向上的截曲率；
这样，每一个方向d上都有一个截曲率 kn；
而1|kn|就是d方向上的曲率半径；
以P为圆心、 1|kn|为半径、在切平面上作圆，圆与切线交于A；
那么A的轨迹，称为曲面在P的迪潘指标线。
设A的坐标是(x,y)，那么(x,y)⋅(ru,rv)=1|kn|−−−−√⋅dr|dr|=rudu+rvdv|kn|−−−√⋅|rudu+rvdv|，
注意到，kn=ⅡⅠ，所以，

Ex2+2Fxy+Gy2=Edu2+2Fdudv+Gdv2|Ldu2+2Mdudv+Ndv2|=Ex2+2Fxy+Gy2|Lx2+2Mxy+Ny2|

所以，Lx2+2Mxy+Ny2=±1
这就是迪潘指标线的方程。
上式中的系数L、M、N与曲面上的方向无关.它们对于曲面上已知点来说为常数，并且上式中不含x、y的一次项，所以上述方程表示以P为中心的有心二次曲线，
这样,曲面上的点由它的迪潘指标线可以进行分类：
1，如果LN−M2>0，则点P称为曲面的椭圆点，这时迪潘指标线是一椭圆；
2，如果LN−M2<0，则点P称为曲面的双曲点，这时迪潘指标线是一对共轭双曲线；
3，如果LN−M2=0，则点P称为曲面的抛物点，这时迪潘指标线是一对平行直线；
4，如果L=M=N=0，则点P称为曲面的平点(平面上的点都是平点)，这时迪潘指标线不存在。