模糊集合理论

模糊集合
模糊集合的引出
经典的集合理论，一个元素是否属于集合，只有真或者假两种情况。比如我们想要定义一个集合表示“年轻人”，那么我们需要设置一个阈值，当一个人的年龄小于这阈值的时候，就认为这个人属于这个集合，反之，则不属于。假如用A表示年轻人这个集合，以20岁为阈值。则这个集合的隶属度函数可以表示如下：
（1-1）
上面的公式可以用图形中a表示如下：

使用经典的集合理论，我们会面临着一些实际的问题，比如当一个人的年龄是20岁零1秒的时候，这个人就不再是年轻人了，这种粗暴的分类方式，在实际中并不实用。因此我们需要有过渡的函数来描述这个情况。上图中b中提供了一种解决方法，图中的斜线表示年龄的过渡。

模糊集合论原理
模糊集合是由L.A.Zadeh在1965年的一篇论文中提出的，模糊集合为处理不严密信息提供了一种形式。

定义（Defination）
令Z为元素集，z表示Z的一类元素，即Z= {z}。这个集合称为论域。Z中的模糊子集（模糊集合）A由隶属度函数 表示。该值在[0,1]之间。对于模糊集合：
，z是集合A的完全成员。
，z不是集合A的成员。
，z是集合A的部分成员。
因此，模糊集合是一个由z值和相应的隶属度函数组成的序对。
（1-2）
相应的，将经典集合论中的概念扩展到模糊集合。
空集：当且仅当Z中的隶属度函数为0，模糊集合为空集。
相等：当且仅当对于所有的 ,有 ，则两个集合相等。
补集： 表示的模糊集合是A的补集，定义其隶属度函数为：
（1-3）

子集：当且仅当对于所有的 ，有
（1-4）
模糊集合A是模糊集合B的子集。

并集：对于所有的 ，两个模糊集合的并集是具有隶属度函数满足：
（1-5）
交集：两个模糊集合的交集是对于所有 ，具有隶属度函数
（1-6）

在实际中，有一些常用的隶属度函数:
（1-7）
（1-8）
（1-9）

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下面是上述隶属度函数的图像：