题目49：开心的小明

题目链接：

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=49

描述

小明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N 元钱就行”。今天一早小明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5 表示，第5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j 件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1…jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]请你帮助金明设计一个满足要求的购物单.

输入

第一行输入一个整数N(0<N≤101)表示测试数据组数
每组测试数据输入的第1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）
从第2 行到第m+1 行，第j 行给出了编号为j-1
的物品的基本数据，每行有2 个非负整数
v p
（其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5））

输出

每组测试数据输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的
最大值（<100000000）

样例输入

1
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

样例输出

3900

算法思想：

动态规划算法，使用二维数组来记录当前物品数量，当前总钱数能购买的最大价值。递推公式如下：

dp[i][j]={0max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−v[i]]+v[i]∗p[i])i=0j>v[i] 

其中dp[i][j]代表有i中物品，总钱数为j时，能购买的最大物品价值。
dp[i - 1][j]代表的是第i件物品不购买时的价值，dp[i - 1][j - v[i]] + v[i] * p[i]代表的是购买第i件物品时的价值，比较两者的最大值作为dp[i][j]。

源代码

#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int dp[26][30001];int main(){    int T, N, m, v[26], p[26];//T代表测试组数，N代表总钱数，m代表总物品数，v[i]代表第i件物品的价格    //p[i]代表第i件物品的重要度    cin >> T;    while (T--)    {        memset(dp,0,sizeof(dp));        memset(v,0,26);        memset(p, 0, 26);        cin >> N >> m;        for (int i = 1; i <= m; i++)        {            cin >> v[i] >> p[i];        }        for (int i = 1; i <= m; i++)//i代表物品        {            for (int j = 1; j <= N; j++)//j代表总钱数            {                if (v[i] <= j)                {                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + v[i] * p[i]);                }                else                {                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];                }            }        }        cout << dp[m][N] << endl;    }    return 0;}

最优源代码

#include<stdio.h>#include<iostream>#include <string.h>using namespace std;#define max(a,b) (a>b?a:b)long w[26],c[26],d[30001]={0};int main(){    int n;    cin>>n;    while(n--)    {    long N,m,i,j,ans=0;    memset(w,0,sizeof(w));    memset(c,0,sizeof(c));    memset(d,0,sizeof(d));    scanf("%ld%ld",&N,&m);    for(i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%ld%ld",&c[i],&w[i]);        w[i]*=c[i];    }    for(i=1;i<=m;i++)        for(j=N;j>=c[i];j--)        {            d[j]=max(d[j],d[j-c[i]]+w[i]);            ans=max(ans,d[j]);        }        printf("%ld\n",ans);    }        return 0;}        

算法复杂度：

由源代码可知，算法时间复杂度为O(m * N)。