[BZOJ]4753: [Jsoi2016]最佳团体 01分数规划+树形DP

Description

JSOI信息学代表队一共有N名候选人，这些候选人从1到N编号。方便起见，JYY的编号是0号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人Ri推荐。如果Ri=0则说明这个候选人是JYY自己看上的。为了保证团队的和谐，JYY需要保证，如果招募了候选人i，那么候选人Ri”也一定需要在团队中。当然了，JYY自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值Pi”，也有一个招募费用Si”。JYY希望招募K个候选人（JYY自己不算），组成一个性价比最高的团队。
也就是，这K个被JYY选择的候选人的总战斗值与总招募总费用的比值最大。

题解：

今天学了下01分数规划，大概是解决这样一个问题：有一些东西，只能选或者不选，每个东西有a[i],b[i]两个值，使得最后Sigma(a[i])/Sigma(b[i])最大（或最小）。既然要最大，那么Sigma(a[i])/Sigma(b[i])>=x，就要求这个x最大，我们可以二分这个x的值，然后转为判定性问题：是否存在Sigma(a[i]-x×b[i])>=0，对于这道题，我们可以做树形背包DP，每个点的价值就重新赋值为p[i]-mid×s[i]，f[i][j]表示i这个点一定选，总共选了j个点的最大价值，最后看一下f[0][k]是否大于等于0就好了。树形DP的时候要注意，一定要尽量减少无效状态，具体地来说，就是从一个有效状态转移到另一个有效状态，否则会TLE。网上有对时间复杂度的证明，是O(n2)的，但蒟蒻并不会证。

代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int Maxn=2510;int size[Maxn],k,n,R[Maxn];double s[Maxn],p[Maxn],f[Maxn][Maxn],v[Maxn];struct Edge{int y,next;}e[Maxn];int last[Maxn],len=0;void ins(int x,int y){    int t=++len;    e[t].y=y;e[t].next=last[x];last[x]=t;}void get(int x){    size[x]=1;    for(int i=last[x];i;i=e[i].next)    get(e[i].y),size[x]+=size[e[i].y];}void Clear(int x){    for(int i=0;i<=n;i++)    f[x][i]=-2147483647.0;}void dfs(int x){    Clear(x);    int tot=0;    if(x)tot++,f[x][1]=v[x];    else f[x][0]=0.0;    for(int i=last[x];i;i=e[i].next)    {        int y=e[i].y,d=(x)?1:0;        dfs(y);        for(int j=tot;j>=d;j--)        for(int l=1;l<=size[y];l++)        f[x][j+l]=max(f[x][j+l],f[x][j]+f[y][l]);        tot+=size[y];    }}int main(){    double l=0.0,r=0.0;    scanf("%d%d",&k,&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%lf%lf%d",&s[i],&p[i],&R[i]);        ins(R[i],i);r=max(r,p[i]);    }    get(0);    int c=30;    while(c--)    {        double mid=(l+r)/2.0;        for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=p[i]-mid*s[i];        dfs(0);        if(f[0][k]>=0.0)l=mid;        else r=mid;    }    printf("%.3lf",(l+r)/2.0);}