故障树定性分析

1.定性分析

目的：

分析某类故障的发生规律及特点，找出控制该事件的可行方案，并从故障树结构上分析各基本原因事件的重要度，以便按轻重缓急分别采取对策。

主要任务：

（1）计算故障树的最小割集或最小径集。

（2）计算各基本事件的结构重要度。

（3）分析各事件类型的危险性，确定预防故障发生的安全保障措施。

名词解释：

割集：故障树中所有的基本事件都发生，则顶上事件必然发生。但是在大多数情况下并非如此，只要某几个甚至某一个基本事件发生就可以引起顶上事件发生。故障树中能使顶上事件发生的基本事件的集合叫割集。

最小割集：在最小割集里任意去掉一个基本事件，顶上事件就不会发生。

径集：在故树中，若所有的基本事件都不发生则顶上事件肯定不会发生，但往往某个或几个基本事件不发生顶上事件就不会发生。能使顶上事件不发生的基本事件的集合叫径集。径集是表示系统不发生故障的模式。

最小径集：是指不能导致顶上事件发生的最低限度基本事件的集合。

结构重要度：就是不考虑各基本事件发生概率多少，仅从故障树结构上分析各基本事件的发生对顶上事件发生的影响程度。

2.最小割集的求法

（1）布尔代数化简法

思想：用基本事件代替中间事件，最后表示出顶事件。最终顶事件表示为几个基本事件的与的或。那么每个基本事件的与就是一个做小割集。满足使顶事件发生，并且最小。

a.这种方法要首先列出故障树的布尔表达式.

b.从故障树的第一层输入事件开始，“或门’’的输入事件用逻辑加表示，“与门”的输入事件用逻辑积表示；再用第二层输入事件代替第一层，第三层输入事件代替第二层，直至故障树中全体基本事件都代完为止。

c.在代换过程中条件与事件之间总是用逻辑积表示。布尔表达式整理后得到若干个逻辑积的逻辑和，每个逻辑积就是一个割集，然后利用布尔代数的有关运算定律化简，就可求出最小割集。

例题：

用布尔代数化简法求最小割集：

求得最小割集为：

（2）行列法

主要思想：

对或门纵向连接，与门横向连接。最终求得若干基本事件的逻辑积。对应于布尔代数，与门是逻辑积，或门是逻辑和。

行列法又称代换法，是由富赛尔（Fus-sel）1972年提出来的，也称富赛尔法。该法是从顶上事件开始，依次将上层事件用下一层事件代替，直到所有基本事件都代完为止。在代换过程中，“或门”连接的事件纵向排列，“与门”连接的事件横向排列。最后会得到若干个基本事件的逻辑积，用布尔代数运算定律化简，就得到最小割集。下面仍以图1为例，用行列法求故障树的最小割集：

计算结果，该故障树有三个最小割集：

3.求最小径集

利用它与最小割集的对偶性，首先画出故障树的对偶树——成功树，求成功树的最小割集就是原故障树的最小径集。

成功树的画法是将故障树的“与门”换成“或门”，“或门”换成“与门”，并把全部事件的发生变成不发生。经过这样变换后得到的树形就是原故障树的成功树。

例题：

成功树有4个最小割集，就是故障树的四个最小径集：

用最小径集表示的故障树结构式为

可以看出主要最小径集有一个不发生那么顶事件就不会发生。根据最小割集

可以看出最小径集恰好使得最小割集的基本事件不再满足。

4.求结构重要度

(1)求结构重要系数

方法思想：观察一个基本事件发生变化顶上事件是否发生变化。对于一个基本事件发生变化其他的基本事件不变总共也就是两两一组。例如总共是n个基本事件，那么就有个组，再计算发生变化的组，除以,求得的就是结构重要系数。

（2）利用最小割集和最小径集判断重要度

近似判断法也有几种，这里介绍用四条原则判断的方法。这4条原则是：

（1）一阶（单事件）最小割(径)集中基本事件结构重要度最大，即大于所有高阶最小割（径）集中基本事件的结构重要度。

例如，某故障树有3个最小割集：

K1＝{X1}，K2＝{X2，X3}，K3＝{X4，X5，X6、X7}。

第1个最小割集只含一个基本事件X1，X1的结构重要度最大，即Iφ（1）＞Iφ（i）,i＝2，3，4，5，6，7

（2）仅出现在同一个最小割(径)集中的所有基本事件结构重要度相等。

例如，上述故障树X2、X3只出现在第2个最小割集中，在其他最小割集中均未出现过，所以X2、X3结构重要度相等，

即:Iφ（2）＝Iφ（3）

同理: Iφ（2）＝Iφ（3）＝Iφ（4）＝Iφ（5） ＝Iφ（6）＝Iφ（7）。

（3）仅出现在基本事件个数相等的若干个最小割(径)集中的各基本事件结构重要度依出现次数而定。

出现次数少，结构重要度小；

出现次数多，结构重要度大；

出现次数相等，结构重要度相等。

例如，某故障树有3个最小径集：Pl＝{X1，X2、X3}，P2＝{X2，X3、X4}，P3＝{X1，X2、X5}。每个最小径集都含有3个基本事件，其中X2出现了3次，X1、X3都出现了2次，X4、X5都只出现1次，故Iφ（2）＞ Iφ（1） ＝ Iφ（3）＞ Iφ（4）＝ Iφ（5）

（4）两个基本事件出现在基本事件个数不等的若干个最小割(径)集中，其结构重要度依下列情况而定：

a、若它们在各最小割(径)集中出现的次数相等，则在少事件最小割(径)集中出现的基本事件结构重要度大。

例如，某事故树有四个最小割集：K1＝{X1，X2}，K2＝{X1，X3}，K3＝{X2，X4，X5}，K4＝{X2，X4，X6}。其中，X1、X4 2个基本事件都出现2次，但X1所在的2个最小割集都含有2个基本事件，而X4所在的2个最小割集都含有3个基本事件，所以Iφ（1）＞Iφ（4）。

b、若它们在少事件最小割(径)集中出现次数少，在多事件最小割(径)集中出现次数多，以及其他更为复杂的情况，可用下列近似判别式计算：

  

式中，I（i）——基本事件X结构重要度的近似判别值，I（i）大则Iφ（i）也大；

Xi∈Kj——基本事件Xi属于Kj最小割(径)集；

nt——基本事件Xi所在最小割(径)集中基本事件的个数。

例如，某故障树共有5个最小径集：Pl＝{X1，X3}，P2＝{X1，X4}，P3＝{X2，X4、X5}，P4＝{X2，X5、X6}，P5＝{X2，X6、X7}。

基本事件X1与X2比较，X1出现2次，但所在的最小径集中都含有2个基本事件；X2出现3次，所在的3个最小径集都有3个基本事件，根据近似公式计算如下：

由计算结果可见，Iφ（1）＞ Iφ（2）。

这个公式主要思想：

举例说明：

{x1} {x2,x3}

假设每一个基本事件发生的概率都是0.1，那么{x1}发生是0.1，而{x2,x3}发生概率是0.01。可以看出x2的结构重要度是要小于x1的。首先，要考虑基本事件所在割集的大小，其次是考虑基本事件出现的数目。而大小的作用是要大于数目的作用的。为了方便判断可以使用这个公式，因为直接观察容易出现错误。

5.定性分析的作用

（1）最小割集表示系统的危险性

（2）故障树中最小径集越多，说明控制顶上事件不发生的方案就越多，因而系统就越安全。

（3）利用最小割集和最小径集可进行结构重要度分析。

（4）故障控制

（5）利用最小割集和最小径集可计算顶上事件的发生概率，对系统进行定量分析。