浅谈关于数据结构中的树

树

树的定义：

​ 在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；

• 没有父节点的节点称为根节点；

• 每一个非根节点有且只有一个父节点；

• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

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二叉树（Binary Tree）

​ 一种特殊的树结构，其特点是每个结点至多有两颗子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且，二叉树的子树有左右之分，即为有序树。

满二叉树： 一棵深度为k且有 2^k-1个节点的二叉树。

完全二叉树： 对满二叉树的结点进行连续编号，约定编号从根节点开始，自上而下，自左至右。深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。

二叉树的性质

性质1 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i>=1）。

性质2 深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点（k>=1）。

性质3 对于任意一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点树为n2，则有 n0 = n2 +1;

​ 性质4 具有n个结点 的完全二叉树的深度为floor(logn)+1(此处floor意为取下整)。

性质5 如果对一棵有n个节点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一节点i（1<=i<=n），有

​ （1） 如果i=1,则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT（i）是结点 floor（i/2）。

​ （2） 如果2i >n， 则结点i无左孩子；否则其左孩子为节点2i。

​ （3） 如果2i +1 >n, 则结点i无右孩子；否则其右孩子为结点2i+1.

树的术语：

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
3. 叶节点或终端节点：度为零的节点；
4. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
5. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
10. 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
11. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
12. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
13. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
14. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类：

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

  二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

  ​ 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达 最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

  • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；

  • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

  • 排序二叉树(二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树)；

  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

树的直径：

树的直径是指树的最长简单路。求法: 两遍搜索S :先任选一个起点BFS找到最长路的终点，再从终点进行BFS，则第二次搜索找到的最长路即为树的直径；
原理: 设起点为u,第一次搜索找到的终点v一定是树的直径的一个端点
证明:

1) 如果u 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，则必定存在另一个点w使得u到w的距离更长，则于BFS找到了v矛盾)
2) 如果u不是直径上的点，则u到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了

树的重心：

树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点树最小。换句话说，删除这个点后最大连通块（一定是树）的结点数最小

树的重心性质：

1.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

3.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

树的分治：

树的分治算法是分治思想在树型结构上的体现。

任一个具有n个节点的连通路，它的任何一棵树的树枝数为n-1

分治：除去树中的某些对象，使原树被分解成若干互不相交的部分。

分治算法分为两种：一种是点的分治，一种是边的分治

1.基于点的分治

1.选取一个点将无根树转为有根树

2.递归处理每一颗以根结点的儿子为根的子树

2.基于边的分治

1.在树中选取一条边

1. 将原有的树分成两棵不相交的树，递归处理。

可以证明在基于点的分治中，如果每次都选取树的重心，那么至多递归
O(LogN)次。

基于边的分治最坏情况下递归次数为O(N)。

例题：