谈谈LCA和RMQ那些事。。。

先是st表。

转载这个人的ST表的：http://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77547380

ST表就是一个用来解决rmq（区间最值）问题的算法。
ST表不支持在线修改。
预处理时间复杂度O（nlogn），查询时间O（1）。
ST表算法详解（求最小值）：
用mn[i][j]表示从j到j+2^i-1的最小值（长度显然为2^i）。
任意一段的最小值显然等于min（前半段最小值，后半段最小值）。
那么mn[i][j]如何用其他状态来继承呢？
j到j+2^i-1的长度为2^i，那么一半的长度就等于2^(i-1)。
那么前半段的状态表示为mn[i-1][j]。
后半段的长度也为2^(i-1)，起始位置为j+2^(i-1)。
那么后半段的状态表示为mn[i-1][j+2^(i-1)]。
所以：
mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+2^(i-1)]。

代码实现：

bin[0]=1;for(int i=1;i<20;i++)    bin[i]=bin[i-1]*2;//bin[i]表示2的i次方Log[0]=-1;for(int i=1;i<=200000;i++)    Log[i]=Log[i/2]+1;//Log[i]表示log(i)for(int i=1;i<=n;i++)    mn[0][i]=a[i];//显然i到i+2^0-1就i一个位置，那么最小值等于自己本身的值for(int i=1;i<=Log[n];i++)    for(int j=1;j<=n;j++)        if(j+bin[i]-1<=n)            mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+bin[i-1]]);//状态继承

搞定了初始化之后，剩下的就是来查询了。
首先明白一个定理：
2^log(a)>a/2
这个很简单，因为log(a)表示小于等于a的2的最大几次方。
比如说log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3…….
那么我们要查询x到y的最小值。
设len=y-x+1,t=log(len)
根据上面的定理：2^t>len/2
从位置上来说，x+2^t越过了x到y的中间！
因为位置过了一半
所以x到y的最小值可以表示为min(从x往后2^t的最小值，从y往前2^t的最小值)
前面的状态表示为mn[t][x]
设后面（从y往前2^t的最小值）的初始位置是k，
那么k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1
所以后面的状态表示为mn[t][y-2^t+1]
所以x到y的最小值表示为min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1])，所以查询时间复杂度是O（1）

代码实现：

int t=Log[y-x+1];printf("%d\n",min(mn[t][x],mn[t][y-bin[t]+1]));

ST表到这里大概就讲完了。
总结的来说求rmq问题有多种方法：线段树，ST表（表示蒟蒻只学了这两种）….
线段树预处理O（nlogn），查询O（logn），支持在线修改
ST表预处理O（nlogn），查询O（1），但不支持在线修改
要根据题目给出的时限和问题来调整解法，希望对同学们有所帮助吧（蒟蒻奉上）

接下来是倍增LCA。

还是转载这个人的倍增LCA的博客：http://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77799320

算法策略：
比如求x和y的最近公共祖先。
先让深度较大（离根较远）的节点跳到与另一节点相同深度的位置（并不一定是同一个点）。
然后两个节点一起往上跳，跳到他们最近公共祖先的孩子停止。
然后返回结果的父亲节点即可。

倍增需要用到ST表算法（差不多吧）。

用f[i][j]表示i往上2^j的节点。
比如f[i][0]表示i的父亲，f[i][1]表示i的爷爷……
有了ST表的基础，在此继承状态就显得容易。
f[i][j]表示i往上2^j，那么也就是i往上2^（j-1）再往上2^（j-1）。
所以f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。

bin[0]=1;for(int i=1;i<=20;i++)    bin[i]=bin[i-1]*2;//bin[i]表示2的i次方。void dfs(int x, int fa) {    dep[x]=dep[fa] +1;    f[x][0]=fa;    for(int i=1;bin[i]<=dep[x];i++)        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];    for(int k=last[x];k;k=a[k].next) {        int y=a[k].y;        if(y==fa)             continue;        dfs(y,x);    }}

然后如何来实现x和y跳到统一深度呢（不一定是同一个点）
那么他们之间肯定是有个高度差（深度差）。
每一个数都可以用2进制来表示。
比如：
5
2进制表示为101
也就是往上跳2^2再往上跳2^0。
然后要注意一点。从大的往小的跳！（什么意思？）
比如说5；
是先跳2^2再跳2^0
而不是先跳2^0再跳2^2（为什么）
如果是先跳2^0的话。那么并不知道要不要跳2^1（因为5-1之后还剩4，有可能会跳）。
如果是先跳2^2的话。那么肯定不用跳2^1（5-4之后剩1，肯定跳不了2^1）。
这就是区别（感觉我并没有说清楚）！
上代码吧：

int Lca(int x, int y) {    if(dep[x]<dep[y])         swap(x,y);    for(int i=20;i>=0;i--)        if(dep[x]-dep[y]>=bin[i])            x=f[x][i];    if(x==y)         return x;    for(int i=20;i>=0;i--)        if(dep[x]>=(1<<i) && f[x][i]!=f[y][i])//要跳到最近公共祖先的孩子节点。如果f[x][i]==f[y][i]的话那么肯定就跳过了！            x=f[x][i],y=f[y][i];    return f[x][0];//最后把父亲节点返回即可}

全代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;struct node {    int x,y,next;}a[210000];int len,last[110000];int dep[110000],f[110000][25];void ins(int x, int y) {    a[++len].x=x;a[len].y=y;    a[len].next=last[x];last[x]=len;}int bin[25];void dfs(int x, int fa) {    dep[x]=dep[fa] +1;    f[x][0]=fa;    for(int i=1;bin[i]<=dep[x];i++)        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];    for(int k=last[x];k;k=a[k].next) {        int y=a[k].y;        if(y==fa)             continue;        dfs(y,x);    }}int Lca(int x, int y) {    if(dep[x]<dep[y])         swap(x,y);    for(int i=20;i>=0;i--)        if(dep[x]-dep[y]>=bin[i])            x=f[x][i];    if(x==y)         return x;    for(int i=20;i>=0;i--)        if(dep[x]>=(1<<i) && f[x][i]!=f[y][i])            x=f[x][i],y=f[y][i];    return f[x][0];}int main() {    int n,m;    bin[0]=1;    for(int i=1;i<=20;i++)        bin[i]=bin[i-1]*2;    scanf("%d%d",&n,&m);    len=0;memset(last,0,sizeof last);    for(int i=1;i<n;i++) {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        ins(x,y);ins(y,x);    }    dfs(1,0);    while(m--) {        int x,y,lca;        scanf("%d%d",&x,&y);        lca=Lca(x,y);        printf("%d\n",lca);    }    return 0;}

LCA目测还是一个很有用的算法。然而倍增的话运用可能更广泛一些。
这篇博客感觉写得不太好，抱歉！