Tyvj4876：近似排列计数 （矩阵快速幂）

题目传送门：http://tyvj.cn/p/4876

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题目分析：比赛的时候见到这题作为T3出现，想了5min就知道是个矩阵乘法，然而由于T1T2花了太久时间，只剩下半小时，就没有敲代码。比赛之后又想清楚了一些细节，过来把这题补了。
由于k最大只有2，当k=2时，符合条件的排列第i位一定是i+2,i+1,i,i-1,i-2中的一个，我们不妨用一个状态压缩将这几位有没有选记下来；又考虑到n高达109，不妨将转移矩阵记下来，对它做矩阵快速幂；要强制某一个位置取某一个值的话，就将n分成m段，每一段做矩阵快速幂，再暴力合并段与段之间即可。
经过仔细研究，我发现k=2时，只需要记i+2,i+1,i,i-1有没有选过即可。我们记f[i][s]表示选完前i个位置的数，i+2,i+1,i,i-1的状态为s的方案数。接下来要考虑第i+1位选什么数，如果i-1还没选过，第i+1位就一定要选i-1，否则它可以选i~i+3中没选过的任意一个。若第x位一定要选y，就先将f[x-1]构出来，暴力判断每一个f[x-1][s]是否合法，合法才能成功转移到f[x]的对应位置。时间复杂度O(Tmlog(n)26k)。（其实不难想，就是写起来很烦）
话说这题我刚码完代码就过样例，交上去立马AC了，调都没调过，我是不是应该去买彩票？

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CODE：

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<stdio.h>#include<algorithm>using namespace std;const int maxs=16;const int maxm=110;const long long M=1000000007;typedef long long LL;struct mat{    LL val[maxs][maxs];} ;mat e,a[2];struct data{    int x,y;} b[maxm];LL st[maxs];LL ed[maxs];int t,n,m,k,ms;bool Comp(data p,data q){    return p.x<q.x;}int Abs(int p){    if (p>=0) return p;    return -p;}mat Times(mat p,mat q){    mat r;    for (int i=0; i<ms; i++)        for (int j=0; j<ms; j++)            r.val[i][j]=0;    for (int i=0; i<ms; i++)        for (int j=0; j<ms; j++)            for (int k=0; k<ms; k++)                r.val[i][j]=(r.val[i][j]+p.val[i][k]*q.val[k][j]%M)%M;    return r;}mat Fast_power(int p){    if (!p) return e;    mat temp=Fast_power(p>>1);    temp=Times(temp,temp);    if (p&1) temp=Times(temp,a[k]);    return temp;}int main(){    freopen("count.in","r",stdin);    freopen("count.out","w",stdout);    for (int i=0; i<maxs; i++) e.val[i][i]=1;    for (int i=0; i<4; i++)        if (i&1) a[0].val[i][(i>>1)|2]=1;        else        {            int j=(i>>1)|2;            if (j&1) a[0].val[i][j^1]=1;            if (j&2) a[0].val[i][j^2]=1;        }    for (int i=0; i<maxs; i++)        if (i&1) a[1].val[i][(i>>1)|8]=1;        else        {            int j=(i>>1)|8;            if (j&1) a[1].val[i][j^1]=1;            if (j&2) a[1].val[i][j^2]=1;            if (j&4) a[1].val[i][j^4]=1;            if (j&8) a[1].val[i][j^8]=1;        }    scanf("%d",&t);    while (t--)    {        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);        for (int i=1; i<=m; i++) scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);        sort(b+1,b+m+1,Comp);        bool sol=true;        for (int i=1; i<=m; i++)            if ( b[i].x<1 || b[i].x>n || b[i].y<1 || b[i].y>n || Abs(b[i].x-b[i].y)>k )            {                printf("0\n");                sol=false;                break;            }        if (!sol) continue;        for (int i=2; i<=m; i++)            if (b[i-1].x==b[i].x)            {                printf("0\n");                sol=false;                break;            }        if (!sol) continue;        if (!k)        {            printf("1\n");            continue;        }        k--;        int h=1;        b[0].x=0;        memset(st,0,sizeof(st));        if (b[1].x==1)        {            h=2;            if (k) st[14^(1<<b[1].y)]=1;            else st[3^(1<<(b[1].y-1))]=1;        }        else            if (k) st[12]=1;            else st[2]=1;        if (k) ms=maxs;        else ms=4;        for (int u=h; u<=m; u++)        {            int len=b[u].x-b[u-1].x-1;            mat temp=Fast_power(len);            memset(ed,0,sizeof(ed));            for (int i=0; i<ms; i++)                for (int j=0; j<ms; j++)                    ed[j]=(ed[j]+st[i]*temp.val[i][j]%M)%M;            for (int i=0; i<ms; i++) st[i]=ed[i];            memset(ed,0,sizeof(ed));            if (k)            {                if (b[u].y==b[u].x-k-1)                {                    for (int i=0; i<ms; i++)                        if (i&1) ed[(i>>1)|8]=(ed[(i>>1)|8]+st[i])%M;                }                else                {                    int j=1<<(b[u].y-b[u].x+1);                    for (int i=0; i<ms; i++)                        if ( (!(i&1)) && (((i>>1)|8)&j) )                            ed[((i>>1)|8)^j]=(ed[((i>>1)|8)^j]+st[i])%M;                }            }            else            {                if (b[u].y==b[u].x-k-1)                {                    for (int i=0; i<ms; i++)                        if (i&1) ed[(i>>1)|2]=(ed[(i>>1)|2]+st[i])%M;                }                else                {                    int j=1<<(b[u].y-b[u].x);                    for (int i=0; i<ms; i++)                        if ( (!(i&1)) && (((i>>1)|2)&j) )                            ed[((i>>1)|2)^j]=(ed[((i>>1)|2)^j]+st[i])%M;                }            }            for (int i=0; i<ms; i++) st[i]=ed[i];        }        mat temp=Fast_power(n-b[m].x);        memset(ed,0,sizeof(ed));        for (int i=0; i<ms; i++)            for (int j=0; j<ms; j++)                ed[j]=(ed[j]+st[i]*temp.val[i][j]%M)%M;        for (int i=0; i<ms; i++) st[i]=ed[i];        if (k) printf("%lld\n",st[12]);        else printf("%lld\n",st[2]);    }    return 0;}

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一些后话：
做题的时候tututu跟我讲了另一道题：
有两个长度为n的数组a,b，定义其乘法运算为：

∑j=0n−1∑k=0n−1c[(j+k)modn]+=a[j]∗b[k]

c为乘出来的结果。现在给定数组x和数字y，求xy。
这很明显可以用倍增来做，然而在转移的时候它只需要n2的时间，所以时间复杂度是O(n2log(p))的。然而如果写成矩阵乘法的形式，时间复杂度就是O(n3log(p))的，这样显然没有必要。
tututu：那什么时候快速幂可以做到n2转移，什么时候要n3转移呢？Tyvj4876这题又可不可以做到24k转移呢？
关于这个问题我们讨论了很久，最后得出的答案是：如果转移的信息可以用一个数组+一些运算法则存下来，就没有必要存矩阵，转移的时间也就可以做到n2。而Tyvj4876这题并不能找到一个完全存储转移信息的数组和运算，也就不能做到24k转移。
（如果路过的神犇有什么更好的想法欢迎指点）