常见智力题总结

1.天气预报说明天下雨的概率是84％,求明天中午12点之前下雨的概率。

解：明天不下雨的概率是16％。而0-12点不下雨和12-24点不下雨是两个相互独立，且等概率的事件。

故明天中午12点之前不下雨的的概率是x² = 0.16， x = 0.4。所以答案为1-0.4 = 60％。

2.给定一张方桌，AB两人轮流将一枚硬币放在桌子上，先让对方无处放硬币的人获胜。问谁有必胜法则？

解：先手必胜。因为题目没有给定桌子和硬币的大小，因此极端来想，如果桌子只能放下一枚硬币，那么先手的必胜。

不考虑这种极端情况，那么就要利用方桌的中心对称性质。先手的人先将硬币放到桌子的中心，接下来无论后手的人将硬币放在哪里，先手的人只要将硬币放到该位置的中心对称处。后手的人有地方放，则先手的人必定有地方能放。

3.井盖为什么是圆的？

解：这个问题没什么标准答案。个人认为比较经典的回答是圆形的井盖可以像轮子一样滚动起来，节约运输成本。

4.100颗糖发放给10个孩子，要保证每个孩子至少拿到9颗糖，问有多少种分法。(每颗糖都是一样的)

解：将8颗/人分给10个孩子，剩下20颗，用挡板法，每人最少分到一颗，一共18个空位，即：C(18，10)种。

一个常见的错误解法，是每个孩子分9颗，然后对剩下的10颗糖用挡板法。这种方式下，除了第一个孩子和最后一个孩子，其他的孩子不可能拿到正好9颗糖，因此不对。

5.两支长度相同的蜡烛,一根粗一根细,粗的可以燃4个小时,细的可以燃3个小时。现要求下午4点时,其中一只蜡烛，其中一只蜡烛剩余部分的长度是另一支剩余部分的2倍，问应该在下午几点几分同时点燃这两支蜡烛。

解：将两支蜡烛的初始长度都看做1，粗的蜡烛每小时燃1/4，细的1/3。

假设经过的时间为x小时，由题意有   2(1-x/4) = 1 - x/3；解得x = 12/5小时，即2小时24分钟，所以蜡烛是下午1点36分点燃的。

6.有50家人家，每家一条狗。有一天警察通知，50条狗当中有病狗，行为和正常狗不一样。每人只能通过观察别人家的狗来判断自己家的狗是否生病，而不能看自己家的狗，如果判断出自己家的狗病了，就必须当天一枪打死自己家的狗。结果，第一天没有枪声，第二天没有枪声，第三天开始一阵枪响，问：一共死了几条狗？

解：这类问题，第几天枪响就是死了几条狗。分析如下：①前提，一定有病狗存在，每个人都足够聪明；②第一天，如果有枪响，那一定是某个人看到了49条正常的狗，击毙了自己家的狗；③第一天没有枪响，所有人都知道了，存在不止一条病狗。以此为前提，如果有人看到48+1(病狗)，则会杀死自己家的狗；④以此类推，第几天枪响就死了几条狗。

7.58*58个小正方形拼成一个大的正方形，问其中有多少个小正方形？

解：可以从3*3的入手思考，首先有3*3个边长为1的，又有2*2个边长为2的，有1*1个边长为3的。因此答案为58*58+57*57+...+1*1。

8.两个圆环，半径分别为1和2，让小圆在圆内/圆外绕大圆一周，问小圆自身转了几圈？

解：小圆真正走过的距离要以一个不动点作为参照来求，显然这个不动点应该是圆形。因此，在圆内部时，运动的轨迹半径为1，在圆外部时运动的轨迹半径是3。小圆分别转了1圈和3圈。

9.你被逼到绝路了，面前有一个生门和一个死门，门口的守卫长得一模一样，但生门的守卫只说真话，死门的守卫只说假话。现在你只能问一个问题，怎样才能活下去？

解：这要用到一个"负负得正"的思想，假话经过说真话的人传递，还是假话；而真话经过说假话的人传递，就成了假话。我们只要制造一个经过传递的问题即可。

如问他们任意一人：如果我问另一个人哪个是生门，他会怎么回答我？如果问到了说真话的守卫，他知道另一个人说假话，会指向死门；如果问到了说假话的守卫，他也会指向死门。我们只有走另一个门就行了。

10.军队有100石粮食，要运到距离粮仓25千米的前线。每次最多运50石，且每走1千米要吃掉2石，问：最多能运到多少粮食？

解：由于一次运不完所有的粮，所以要考虑回程吃粮的消耗，显然回程的距离最少，才能运到最多的粮食。起点出发，运50石到一米处，吃了2石，回城接着运粮要吃2石，再运到距起点1米处，吃2石。分析得出，在运不完所有粮食前，每走一米要吃6石粮食。50/6 ≈ 9，需要这样走9米，一共消耗了6*9 = 54石粮食，接着，运剩下的46石粮食，路程25-9米，每米消耗2石，即为最多能运到前线的粮食数。

11.一个村子遵循着这样的规则：生出女孩就继续生，生到男孩为止。这个村的男女比例是多少(生男生女概率相同)？

解：考虑该村一户人家生孩子个数的期望值。只生一个，概率1/2；生2个，一男一女，概率1/4；生三个，两女一男，概率1/8。

E(x) = 1*1/2+2*1/4+3*1/8+4*1/16 +... = 2。即：平均只生2个就有一个男孩，男女比例为1:1。

12.已知5个数，进栈顺序为1,2,3,4,5，问出栈顺序有多少种。

解：这是典型的卡特兰数问题，公式为C(2n，n) / (n+1)。类似的问题还有：①给定n个结点，能组成的二叉搜索树数目。②给定n对括号，其能组成的合法表达式数目。

此问题考虑的方式如下：进栈顺序为1~5，则每个数都有可能是最先出栈的，我们假设f(n)表示n个数按顺序进栈的可能出栈种数。

由栈的性质，我们知道，元素1可以是第1~5个出栈的数，假设是第一个出栈的，那么对应有f(4)种可能(其后有4个数)；假设是第二个出栈的，对应有f(1)*f(3)种可能，表示元素1之前有一个数出栈，之后有3个数出栈；...假设元素1是最后一个出栈的，对应有f(4)种可能。根据加法原理，不同位置的可能数之和即为所求的答案。这个答案在组合数学上称为卡特兰数。

13.房间里有3盏灯，对应门外的3个开关。你站在门外，只允许进去一次，如何判断每栈开关对应的灯？

解：用电阻的热效应，一盏灯不开，一盏灯开很久(灯泡会发烫)，一盏进去之前开。进入房间后通过温度判断即可。

14.52张扑克(不含大小王)，你平均摸多少张能拿到一个A？

解：把4张A放到桌面上，它们中间有5个空位。剩下的48张牌平分放到这5个空位上，每个位置48/5 = 10张，平均第11张就能拿到A。

15.30匹马，5个赛道，最少多少次找出最快的3匹马？

解：①先分6组，跑6次，得出了每组的第一；

②选5个第一组成新的一组跑一次，拿到前3；

③前3和剩下的第六匹马跑，比出冠军；

④冠军所在组派2匹(该组的第二和第三)，亚军所在组派2匹(亚军和该组第二)，季军所在组1匹(季军)，角逐真正的亚军和季军。

一共6+1+1+1=9次。如果25匹，只需要5+1+1=7次。

16.你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？

解：把金条分成1,2,4这样的三段，只弄断两次，它们的组合可以表示1~7的所有数。每天给工人不同的组合即可，必要时进行交换。

17.一炷香烧完是1小时，你有很多这样的香，怎么烧出15分钟？

解：1/4小时是15分钟。

①一炷香正常烧，一炷香两头烧。；

②两头烧的烧完以后正常烧的那柱香还能烧半小时；

③点燃那柱香的另一头，即为15分钟。

18.有3箱水果，一箱是苹果，一箱是橘子，一箱是两种水果的混装。三个箱子上都贴了标签，但所有的标签都贴错了现在你只拿出一个水果来判断3个箱子里的情况。

解：切入点是所有标签都贴错了。

①从贴混装的箱子里拿一个出来，由于全都贴错，不可能是混装，拿出什么水果，该箱实际装的就是什么水果；

②如果拿出苹果，则看贴苹果的那箱，里面橘子(拿出橘子同理)；

③贴橘子(苹果)的那箱是混装。只有这样才是三个箱子没有一个帖对的。

19.一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼。每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？

解：显然没有拿到最大钻石的必胜法则，但可以使拿到的概率最大化。博弈论中是这样处理这个问题的，取一个数r = n/e ≈0.368n；先在前4层观察，找到它们中最大的一个，在之后的6层中，如果遇到比前4层的钻石大的，那么就直接取走它。

20.用7g砝码、2g砝码、天平各一个，3次将140g的盐分为50和90g。

解：①将140g分为70和70；

②将70分为35和35；

③7和2可以制造5的差，因此可以将35g盐分为15和20两堆；

④一堆20+70，另一堆15+35

21.足球比赛，每组有N个队，N>=3.胜一场3分，平一场1分，输一场0分，每组取前两名，要想出小组，最少得多少分。

解：足球比赛中，N个球队之间是要进行两两比赛的，共计n(n-1)场。第二名的球队会进行n-1场比赛，要使该队的得分最少，那么能平的比赛就别赢，能输的就别平。考虑一种极端情况：第一名每次都赢，其他组之间的比赛每次都平，第二名只要在和第一名的比赛中打平，那么就能获胜。所以第二名最少拿到n-1分。

22.往一个果篮放桃子，假设果篮里的桃子的数目每分钟增加1倍，这样下去，10分钟后，篮子满了，那么，你知道在什么时候果篮里面是半蓝的桃子吗？

解：每分钟翻倍，自然是最后一分钟由半篮变成一整蓝。