循环冗余校验 CRC 的算法分析和程序实现

摘要 通信的目的是要把信息及时可靠地传送给对方，因此要求一个通信系统传输消息必须可靠
与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。为了解决可靠性，通信系统都采用了差错
控制。本文详细介绍了循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）的差错控制原理及其算法实
现。
关键字 通信 循环冗余校验 CRC-32 CRC-16 CRC-4
概述
在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。若要求快速，则必然使得每个数据码元所占地
时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误地可能性增加，传送信息地可靠性下
降。若是要求可靠，则使得传送消息地速率变慢。因此，如何合理地解决可靠性也速度这一对矛盾，
是正确设计一个通信系统地关键问题之一。为保证传输过程的正确性，需要对通信过程进行差错控
制。差错控制最常用的方法是自动请求重发方式（ARQ）、向前纠错方式（FEC）和混合纠错（HEC）。
在传输过程误码率比较低时，用FEC 方式比较理想。在传输过程误码率较高时，采用FEC 容易出
现“乱纠”现象。HEC 方式则式ARQ 和FEC 的结合。在许多数字通信中，广泛采用ARQ 方式，
此时的差错控制只需要检错功能。实现检错功能的差错控制方法很多，传统的有：奇偶校验、校验
和检测、重复码校验、恒比码校验、行列冗余码校验等，这些方法都是增加数据的冗余量，将校验
码和数据一起发送到接受端。接受端对接受到的数据进行相同校验，再将得到的校验码和接受到的
校验码比较，如果二者一致则认为传输正确。但这些方法都有各自的缺点，误判的概率比较高。
循环冗余校验 CRC（Cyclic Redundancy Check）是由分组线性码的分支而来，其主要应用是二
元码组。编码简单且误判概率很低，在通信系统中得到了广泛的应用。下面重点介绍了CRC 校验
的原理及其算法实现。
一、循环冗余校验码（CRC）
CRC 校验采用多项式编码方法。被处理的数据块可以看作是一个n 阶的二进制多项式，由
1 0
2
2
1
1 a x a x x a x a
n
n
n + − + ⋅ ⋅ ⋅ + +
−
−
− 。如一个8 位二进制数10110101 可以表示为：
1x7 + 0x6 +1x5 +1x4 + 0x3 +1x2 + 0x +1。多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相
同。多项式的加减法运算以2 为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。
采用 CRC 校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g（x）,并且g（x）的首位和最后一
位的系数必须为1。CRC 的处理方法是：发送方以g（x）去除t（x），得到余数作为CRC 校验码。
校验时，以计算的校正结果是否为0 为据，判断数据帧是否出错。
CRC 校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k（k 为g（x）的阶数）的
突发错误。所以CRC 的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。CCITT 建议：2048 kbit/s
的PCM 基群设备采用CRC-4 方案，使用的CRC 校验码生成多项式g（x）= x4 + x +1。采用16
位CRC 校验，可以保证在1014 bit 码元中只含有一位未被检测出的错误[2]。在IBM 的同步数据链
路控制规程SDLC 的帧校验序列FCS中，使用CRC-16，其生成多项式g（x）= x16 + x15 + x2 +1；
而在CCITT 推荐的高级数据链路控制规程HDLC 的帧校验序列FCS 中，使用CCITT-16，其生成多
项式g （ x ） = x16 + x15 + x5 +1 。CRC-32 的生成多项式g （ x ）
= x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x +1。CRC-32出错的概
率比CRC-16低10−5 倍[4]。由于CRC-32 的可靠性，把CRC-32 用于重要数据传输十分合适，所以
在通信、计算机等领域运用十分广泛。在一些UART通信控制芯片（如MC6582、Intel8273 和Z80-SIO）
内，都采用了CRC 校验码进行差错控制；以太网卡芯片、MPEG 解码芯片中，也采用CRC-32 进
行差错控制。
二、CRC 校验码的算法分析
CRC 校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），将最后的余数
作为CRC 校验码。其实现步骤如下：
（1） 设待发送的数据块是m 位的二进制多项式t（x），生成多项式为r 阶的g（x）。在数据块
的末尾添加r个0，数据块的长度增加到m+r位，对应的二进制多项式为xr t(x)。
（2） 用生成多项式g（x）去除xr t(x)，求得余数为阶数为r-1 的二进制多项式y（x）。此二进
制多项式y（x）就是t（x）经过生成多项式g（x）编码的CRC 校验码。
（3） 用xr t(x)以模2 的方式减去y（x），得到二进制多项式xr t'(x)。xr t'(x)就是包含了CRC
校验码的待发送字符串。
从 CRC 的编码规则可以看出，CRC 编码实际上是将代发送的m 位二进制多项式t（x）转换成
了可以被g（x）除尽的m+r位二进制多项式xr t'(x)，所以解码时可以用接受到的数据去除g（x），
如果余数位零，则表示传输过程没有错误；如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。许多
CRC 的硬件解码电路就是按这种方式进行检错的。同时xr t'(x)可以看做是由t（x）和CRC校验码
的组合，所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r 位数据，得到的就是原始数据。
为了更清楚的了解 CRC 校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来说明CRC 校验码的编码
过程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT 和CRC-4 的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不
一样。为了叙述简单，用一个CRC-4 编码的例子来说明CRC 的编码过程。
设待发送的数据 t（x）为12 位的二进制数据100100011100；CRC-4 的生成多项式为g（x）
= x4 + x +1，阶数r为4，即10011。首先在t（x）的末尾添加4 个0 构成x4t(x)，数据块就成了
1001000111000000。然后用g（x）去除x4t(x)，不用管商是多少，只需要求得余数y（x）。下表为
给出了除法过程。
从上面表中可以看出，CRC 编码实际上是一个循环移位的模2 运算。对CRC-4，我们假设有
除数次数
被除数/ g（x）/结果
余数
1 001000111000000
1 0011
0
0 000100111000000
100111000000
1 00111000000
1 0011
1
0 00001000000
1000000
1 000000
1 0011
2
0 001100
1100
一个5 bits 的寄存器，通过反复的移位和进行CRC 的除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位
就是我们所要求的余数。所以可以将上述步骤用下面的流程描述：
//reg 是一个5 bits 的寄存器
把 reg 中的值置0.
把原始的数据后添加r 个0.
While (数据未处理完)
Begin
If (reg 首位是1)
reg = reg XOR 0011.
把reg 中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register 的0 bit 的位置。
End
reg 的后四位就是我们所要求的余数。
这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的G（x）都适用。在发送的数据不长的情
况下可以使用。但是如果发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合了。它一次只能处理一位数
据，效率太低。为了提高处理效率，可以一次处理4 位、8 位、16 位、32 位。由于处理器的结构基
本上都支持8 位数据的处理，所以一次处理8 位比较合适。
为了对优化后的算法有一种直观的了解，先将上面的算法换个角度理解一下。在上面例子中，
可以将编码过程看作如下过程：
由于最后只需要余数，所以我们只看后四位。构造一个四位的寄存器reg，初值为0，数据依
次移入reg0（reg 的0 位），同时reg3 的数据移出reg。有上面的算法可以知道，只有当移出的数据
为1 时，reg 才和g（x）进行XOR 运算；移出的数据为0 时，reg 不与g（x）进行XOR 运算，相
当与和0000 进行XOR 运算。就是说，reg 和什么样的数据进行XOR 移出的数据决定。由于只有一
个bit，所以有21种选择。上述算法可以描述如下，
//reg 是一个4 bits 的寄存器
初始化 t[]={0011,0000}
把reg 中的值置0.
把原始的数据后添加r 个0.
While (数据未处理完)
Begin
把reg 中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register 的0 bit 的位置。
reg = reg XOR t[移出的位]
End
上面算法是以bit 为单位进行处理的，可以将上述算法扩展到8 位，即以Byte 为单位进行处理，
即CRC-32。构造一个四个Byte 的寄存器reg，初值为0x00000000，数据依次移入reg0（reg 的0
字节，以下类似），同时reg3 的数据移出reg。用上面的算法类推可知，移出的数据字节决定reg 和
什么样的数据进行XOR。由于有8 个bit，所以有28种选择。上述算法可以描述如下：
//reg 是一个4 Byte 的寄存器
初始化 t[]＝{…}//共有28＝256 项
把 reg 中的值置0.
把原始的数据后添加r/8 个0 字节.
While (数据未处理完)
Begin
把reg 中的值左移一个字节，读入一个新的字节并置于reg 的第0 个byte 的位置。
reg = reg XOR t[移出的字节]
End
算法的依据和多项式除法性质有关。如果一个m 位的多项式t（x）除以一个r 阶的生成多项式
g（x）， 0
1
1
2
2
2
2
1
t(x) a 1x a xm a x a x a
m
m
m = + − + ⋅ ⋅ ⋅ + + +
−
−
− ，将每一位k
k a x （0=<k<m）提出来，
在后面不足r个0 后，单独去除g（x），得到的余式位y (x) k 。则将( ) ( ) ( ) 1 2 0 y x y x y x m m ⊕ ⊕⋅ ⋅ ⋅⊕ − −
后得到的就是t（x）由生成多项式g（x）得到的余式。对于CRC-32，可以将每个字节在后面补上
32 个0 后与生成多项式进行运算，得到余式和此字节唯一对应，这个余式就是上面算法种t[]中的
值，由于一个字节有8 位，所以t[]共有28＝256 项。多项式运算性质可以参见参考文献[1]。这种
算法每次处理一个字节，通过查表法进行运算，大大提高了处理速度，故为大多数应用所采用。
三、CRC-32 的程序实现。
为了提高编码效率，在实际运用中大多采用查表法来完成 CRC-32 校验，下面是产生CRC-32
校验吗的子程序。
unsigned long crc_32_tab[256]={
0x00000000, 0x77073096, 0xee0e612c, 0x990951ba, 0x076dc419, 0x706af48f, 0xe963a535,
0x9e6495a3,0x0edb8832,…, 0x5a05df1b, 0x2d02ef8d
};//事先计算出的参数表，共有256 项，未全部列出。
unsigned long GenerateCRC32(char xdata * DataBuf,unsigned long len)
{
unsigned long oldcrc32;
unsigned long crc32;
unsigned long oldcrc;
unsigned int charcnt;
char c,t;
oldcrc32 = 0x00000000; //初值为0
charcnt=0;
while (len--) {
t= (oldcrc32 >> 24) & 0xFF; //要移出的字节的值
oldcrc=crc_32_tab[t]; //根据移出的字节的值查表
c=DataBuf[charcnt]; //新移进来的字节值
oldcrc32= (oldcrc32 << 8) | c; //将新移进来的字节值添在寄存器末字节中
oldcrc32=oldcrc32^oldcrc; //将寄存器与查出的值进行xor 运算
charcnt++;
}
crc32=oldcrc32;
return crc32;
}
参数表可以先在PC 机上算出来，也可在程序初始化时完成。下面是用于计算参数表的c 语言
子程序，在Visual C++ 6.0 下编译通过。
#include <stdio.h>
unsigned long int crc32_table[256];
unsigned long int ulPolynomial = 0x04c11db7;
unsigned long int Reflect(unsigned long int ref, char ch)
{ unsigned long int value(0);
// 交换bit0 和bit7，bit1 和bit6，类推
for(int i = 1; i < (ch + 1); i++)
{ if(ref & 1)
value |= 1 << (ch - i);
ref >>= 1; }
return value;
}
init_crc32_table()
{ unsigned long int crc,temp;
// 256 个值
for(int i = 0; i <= 0xFF; i++)
{ temp=Reflect(i, 8);
crc32_table[i]= temp<< 24;
for (int j = 0; j < 8; j++){
unsigned long int t1,t2;
unsigned long int flag=crc32_table[i]&0x80000000;
t1=(crc32_table[i] << 1);
if(flag==0)
t2=0;
else
t2=ulPolynomial;
crc32_table[i] =t1^t2 ; }
crc=crc32_table[i];
crc32_table[i] = Reflect(crc32_table[i], 32);
}
}
结束语
CRC 校验由于实现简单，检错能力强，被广泛使用在各种数据校验应用中。占用系统资源
少，用软硬件均能实现，是进行数据传输差错检测地一种很好的手段。