刺激的矩阵

刺激的矩阵（exciting）

 

【题目背景】

丁爷爷是一名长者，他喜欢寻找刺激的东西。

 

【题目描述】

丁爷爷非常喜欢取最值运算，他认为取最值运算很刺激。

有一天，丁爷爷获得了一个 n × m 的矩阵。他决定在这个矩阵中找乐子。

首先，对于各行，丁爷爷求出了每行内元素的最小值（第 i 行的最小值被存在 r_i 中）。同样地，对于各列，丁爷爷又求出了每列内元素的最大值（第i列的最大值被存在c_i 中）。

然后，丁爷爷将所有 r_i 取最大值，存放在 R 中；将所有 c_i 取最小值，存放在 C 中。这样，刺激的运算就全部做完了。

然而，丁爷爷认为，最终 R 和 C 相等的矩阵才是真正刺激的矩阵。如果最终他发现 R 与 C 不相等，那么他就会十分生气。为了不得罪丁爷爷，他的粉丝 Yazid 不得不把这个矩阵改成一个刺激的矩阵。

而你，需要帮助 Yazid 最小化他修改的次数。也就是说，Yazid 需要修改尽可能少的位置来使这个矩阵变得刺激。

形式化地描述，不妨假设这个矩阵为 A_n×m。那么：

你需要修改尽可能少的数，使得 R =C。

 

【输入格式】

从文件 exciting.in 中读入数据。

第一行 3 个整数 n, m, type，分别表示矩阵的行数、列数和数据类型。（数据类型的作用会在下面描述）

接下来 n 行，每行 m 个用空格隔开的整数，描述这个矩阵。其中第 i + 1 行的第 j

个数表示 A_{i, j}。

 

【输出格式】

输出到文件 exciting.out 中。

输出一行一个整数，表示需要修改的最少的数的个数。

 

【样例 1 输入】

3 3 2

10 20 30

20 10 30 

10 5 35

【样例 1 输出】 

1

 

【样例 2 输入】

3 3 1

1 2 1

2 1 0

3 3 4

 

【样例 2 输出】 

0

 

【样例 3 输入】

4 4 0

1 1 3 4

5 1 1 8 

9 10 1 1

1 14 15 1

【样例 3 输出】

2

【样例 4】

见选手目录下的 exciting/exciting4.in与 exciting/exciting4.ans。

【样例 5】

见选手目录下的 exciting/exciting5.in与 exciting/exciting5.ans。

【样例 6】

见选手目录下的 exciting/exciting6.in与 exciting/exciting6.ans。

 

【提示】

样例 1 解释：Yazid 可以把第 1 行第 2 个元素修改为 7，这样这个矩阵就是刺激的了。

 

【子任务】

对于8% 的数据，保证 n,m ≤ 3，且type = 1。对于另外8% 的数据，有 type= 2。

对于另外 4%的数据，有 n, m ≤5。对于另外 12% 的数据，保证 n ≤10。对于 44% 的数据，保证n,m ≤35。对于 56% 的数据，保证 n, m ≤60。对于 64% 的数据，保证n, m ≤100。对于 72% 的数据，保证 n, m ≤300。对于 88% 的数据，保证n, m ≤1, 000。对于92% 的数据，保证 n, m ≤1, 500。

对于100% 的数据，保证 1 ≤ n, m ≤2, 000，0 ≤ A_i,j≤ 3 × 10⁶。对于没有说明 type 取值的数据类型，都有type= 0。

对于 type = 1 的数据，保证存在一种最优的修改方案，使得最终得到的刺激矩阵的每个元素都是不超过 5 的非负整数。

对于 type = 2 的数据，保证答案不超过 1。

题解：我们可以发现R与C所代表的点是相等的。将所有数据进行排序，先从小到大存入，在列上减去对应的数，再从大到小存入，在行上减去对应的数。将两者相加求最小值就是答案。

Code：

var  ans,f,x,y,b:array[0..4000005] of longint;  a:array[0..2005,0..2005] of longint;  n,m,t,i,j,sum,cnt,minans,min,l,r:longint;procedure sort(l,r:longint);var i,j,v,t:longint;begin  i:=l;j:=r;v:=f[random(r-l+1)+l];  repeat    while f[i]<v do inc(i);    while f[j]>v do dec(j);    if not(i>j) then    begin      t:=f[i];f[i]:=f[j];f[j]:=t;      t:=x[i];x[i]:=x[j];x[j]:=t;      t:=y[i];y[i]:=y[j];y[j]:=t;      inc(i);dec(j);    end;  until i>j;  if l<j then sort(l,j);  if i<r then sort(i,r);end;begin  assign(input,'exciting.in');reset(input);  assign(output,'exciting.out');rewrite(output);  randomize;  readln(n,m,t);  for i:=1 to n do    for j:=1 to m do    begin      read(a[i,j]);      inc(sum);      f[sum]:=a[i,j];      x[sum]:=i;      y[sum]:=j;    end;  sort(1,sum);  for i:=1 to m do b[i]:=n;  min:=n;  for i:=1 to sum do  begin    dec(b[y[i]]);    if b[y[i]]<min then min:=b[y[i]];    if (f[i]<>f[i+1])or(i=sum) then    begin      inc(cnt);      ans[cnt]:=min;    end;  end;  for i:=1 to n do b[i]:=m;  min:=m;minans:=maxlongint;  inc(cnt);  for i:=sum downto 1 do  begin    dec(b[x[i]]);    if b[x[i]]<min then min:=b[x[i]];    if (f[i]<>f[i-1])or(i=1) then    begin      dec(cnt);      ans[cnt]:=ans[cnt]+min;      if ans[cnt]<minans then minans:=ans[cnt];    end;  end;  writeln(minans);  close(input);close(output);end.