HDU-5833 Zhu and 772002(异或方程高斯消元)

题意：

给出 n 个整数，从中选出 1 个或者多个，使得选出的整数乘积是完全平方数。问一共有多少种选法？答案对 1e9+7 取模。

思路：

一个数可以看成若干个素因子的若干次方的乘积，而我们只关系平方数，因此一个数可以表示成若干因子的奇数次方和偶数次方的乘积，奇数次方直接表示为1，偶数直接表示为0，例如12就表示成2^0*3^1。2000以内的素数总共303个，而n最多也只有300个，所以可以针对每一个素因子设一个n个未知数的方程，系数矩阵a[i][j]的含义是对于第i个质因子在第j个数中是偶数次幂还是奇数次幂，值为0或者1，而未知数矩阵x[i][j]的含义是对于第i个质因子选或者不选相应的第j个数，值为0或者1，它们之间的运算是&运算，因为只有同时为1的时候才对当前行的这个方程有影响。然后将当前行的n个组合异或起来，我们希望的是它们的异或值等于0，因为这样才是一个平方数嘛。所以303个方程能够约束所有的情况，然后我们求出x的通解，计算一下自由变量的个数即可，即2^(自由变量的个数)，然后再减去一个1，即去掉都不选的情况。

代码：

//异或方程版  #include <iostream>#include <string.h>  #include <cstdio>  #define ll long long using namespace std;struct GAUSS {    const static ll mod = 1e9+7;    const static int maxn = 505;    int r, c, free_x, cnt;  //cnt表示x取值的值域    ll matrix[maxn][maxn];      ll x[maxn];ll ans;    void init(int _r, int _c, int _cnt)    {    r = _r, c = _c, cnt = _cnt;        memset(matrix, 0, sizeof matrix);    }    //构造增广矩阵(系数, b)    void Link(int r, int c, ll val)    {        matrix[r][c] = val;    }    ll _abs(ll x)      {          return x < 0? -x: x;      }      ll qpow(ll bas, int n)      {          ll ans = 1;          while(n)        {            if(n&1) ans = ans*bas%mod;            bas = bas*bas%mod;            n >>= 1;         }        return ans;    }    void swap_row(int a, int b)      {          for(int i = 0; i <= c; ++i)          {              ll tmp = matrix[a][i];              matrix[a][i] = matrix[b][i];              matrix[b][i] = tmp;          }      }      void swap_col(int a, int b)      {          for(int i = 0; i < r; ++i)          {              ll tmp = matrix[i][a];              matrix[i][a] = matrix[i][b];              matrix[i][b] = tmp;          }      }      bool gauss()      {          int row, col, maxrow, i, j;          for(row = 0, col = 0; row < r && col < c; ++row)          {              maxrow = row;              for(i = row+1; i < r; ++i)              {                  if(_abs(matrix[i][col]) > _abs(matrix[maxrow][col])) maxrow = i;              }              if(matrix[maxrow][col] == 0)              {                  ++col;                  --row;                  continue;              }              if(maxrow != row) swap_row(row, maxrow);              for(i = row+1; i < r; ++i)              {                  if(matrix[i][col])                  {                     for(j = col; j <= c; ++j)                      {                          //类似模拟一行减去另一行乘以一个常数                         matrix[i][j] ^= matrix[row][j];                    }                  }              }              ++col;          }          for(i = row; i < r; ++i)              if(matrix[i][c]) return false;  //无解          free_x = c-row;          //转化为上三角         for(i = 0; i < r && i < c; ++i)          {              if(matrix[i][i] == 0)              {                  for(j = i+1; j < c; ++j)                 if(matrix[i][j])                   {                      swap_col(i, j);                      break;                  }              }          }        ans = qpow(cnt, free_x);          return true;      }     //如果存在唯一解，下面计算每个未知数的值     void calc_x()      {          for(int i = c-1; i >= 0; --i)          {              ll tmp = matrix[i][c];              for(int j = i+1; j < c; ++j)                  tmp ^= (matrix[i][j]&x[j]);                        x[i] = matrix[i][i]^tmp%mod;          }      }} AC;int t, n;int prime[2005], isprime[2005], prime_cnt;ll a[305];void init()  {      prime_cnt = 0;    for(int i = 2; i <= 2000; ++i)    if(!isprime[i])    {        prime[prime_cnt++] = i;        for(int j = i*i; j <= 2000; j += i)        isprime[j] = 1;    }}void solve()  {    AC.init(prime_cnt, n, 2);    for(int i = 0; i < prime_cnt; ++i)    {        for(int j = 0; j < n; ++j)        {            ll t = a[j], p = prime[i];            int tcnt = 0;            while(t%p == 0)            ++tcnt, t /= p;            AC.Link(i, j, (tcnt&1));        }        AC.Link(i, n, 0);    }    if(!AC.gauss()) puts("0");    else printf("%lld\n", (AC.ans-1+AC.mod)%AC.mod);    //AC.calc_x();}int main()  {      //freopen("in.txt", "r", stdin);    init();    scanf("%d", &t);    for(int _ = 1; _ <= t; ++_)    {        scanf("%d", &n);        for(int i = 0; i < n; ++i)        scanf("%lld", &a[i]);        printf("Case #%d:\n", _);        solve();    }    return 0;  }

继续加油~