UOJ 263 NOIP 2016 DAY2 T1 浅谈组合数问题

世界真的很大
我去年可能做了假NOIP
今天在找其他题时莫名看到这道题，看标题是NOIP2016就点进去了
非常尴尬的是这道题还是比较水
更尴尬的是当时我为什么没有做出来
果然NAIVE啊
惊讶的是题解大概不会很详细，看看就好

看题先：

description：

组合数 CmnCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 CmnCnm 的一般公式：
Cmn=n!m!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!
其中 n!=1×2×⋯×nn!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=10!=1。
小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

input：

从标准输入读入数据。
第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。
接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

output：

输出到标准输出。
tt 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

拿到题先想组合数怎么求。
模数小，数字大的话就Lucas，模数大，数字小，就预处理阶乘和逆元
然后还有n^2的杨辉三角求法
这道题恰恰没有mod，范围2000，用什么方法还用说吗?
但是又没有mod，太大了的话会爆int，而且mod的话怎么判断是不是k的倍数呢？
mod K 不就行了吗，是0不就是K的倍数吗
然后预处理一个矩阵前缀和
n^2预处理，每次O(1)查询

完整代码：

#include<stdio.h>int T,K,sum[2020][2020],a[2020][2020],C[2020][2020];void init(){    C[0][0]=1;    for(int i=1;i<=2000;i++)    {        C[i][0]=1;        for(int j=1;j<=i;j++)            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%K,a[i][j]=(C[i][j]==0);    }    for(int i=1;i<=2000;i++)        for(int j=1;j<=2000;j++)            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];}int main(){    scanf("%d%d",&T,&K);    init();    while(T--)    {        int n,m;        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%d\n",sum[n][m]);    }    return 0;}

嗯，就是这样