矩阵的求导

复杂矩阵问题求导方法：可以从小到大，从scalar到vector再到matrix。

 x is a column vector, A is a matrix

d(A∗x)/dx=A            

d(xT∗A)/dxT=A   

d(xT∗A)/dx=AT    

d(xT∗A∗x)/dx=xT(AT+A)

 

practice:

 

这几天由于用到矩阵求导相关的知识，但是自己没有学过矩阵论(研究生选课的时候，导师没有让选)，于是百度了下，觉得完整的相关资料不多，还好发现了下面的这篇博客，给我了很大的帮助！

仔细分析了下博客中的内容，其实矩阵求导也是挺好理解的(估计是我有较好的MATLAB使用基础吧)，下面看帖吧，哈哈！！

矩阵求导 属于 矩阵计算，应该查找 Matrix Calculus 的文献：

http://www.psi.toronto.edu/matrix/intro.html#Intro

http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html

http://www.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf

http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf

http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf

http://center.uvt.nl/staff/magnus/wip12.pdf

在网上看到有人贴了如下求导公式：

Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：

1. 矩阵Y对标量x求导：

相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了

Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

2. 标量y对列向量X求导：

注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量

y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

3. 行向量Y'对列向量X求导：

注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：

dX'/dX = I

d(AX)'/dX = A'

4. 列向量Y对行向量X’求导：

转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'

5. 向量积对列向量X求导运算法则：

注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

6. 矩阵Y对列向量X求导：

将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

7. 矩阵积对列向量求导法则：

d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

8. 标量y对矩阵X的导数：

类似标量y对列向量X的导数，

把y对每个X的元素求偏导，不用转置。

dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

重要结论：

y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

9. 矩阵Y对矩阵X的导数：

将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。

10.乘积的导数

d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

结论

d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x （注意：''是表示两次转置）

关于最小二乘问题的求解，之前已有梯度下降法，还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法，是基于

矩阵求导来计算的，它的计算方式更加简洁高效，不需要大量迭代，只需解一个正规方程组。

 

在开始之前，首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下

 

一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和，记作。即

 

           

 

 

                        

             

 

好了，有了上述7个定理，就可以来求最小二乘解了。设

 

  

 

那么进一步得到

 

    

 

接下来会涉及到矩阵求导，因为

 

    

 

那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理，得到

 

    

 

我们知道在极值点处梯度值为零，即

 

    

 

上述得到的方程组叫做正规方程组，那么最终得到

 

    

 

这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可，不再需要像梯度下降那样迭代了。

 

既然说到了正规方程组，在介绍一种方程组，叫做超定方程组，它的定义为：把方程个数大于未知量个数的方

程组叫做超定方程组。通常来说，对于一个超定方程组来说，求最小二乘解只需要两边同时乘的转

置，然后得到正规方程组，然后解这个方程就得到了最小二乘解。