qbxt国庆水题记day4

qbxt国庆水题记

day4

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//0 + 20 + 0 == 20
//DP（不会） + 暴力 + 找规律（没找到）

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beautiful

1.1 题目
从前有一个序列 a[]，对于每个 a[i] 都有一个在序列中的优美值，其定义是：序列中最长的
一段 [l，r], 满足 l ≤ i ≤ r，且 a[i] 是这一段的中位数（以数值为第一关键字，下标为第二关键
字排序，这样的话这一段的长度只有可能是奇数），r-l+1 就是它的优美值。
有 Q 个询问，每次给出一段区间，求区间优美值的最大值

1.2 输入
第一行输入 n 接下来 n 个整数，代表 ai 接下来 Q，代表有 Q 个区间接下来 Q 行，每行
两个整数 l, r(l <= r)，表示区间的左右端点

1.3 输出
对于每个区间的询问，输出答案

1.4 Sample Input
8
16 19 7 8 9 11 20 16
8
3 8
1 4
2 3
1 1
5 5
1 2
2 8
7 8

1.5 Sample Output
7
3
1
3
5
3
7
3

1.6 数据范围৺㓖定
对于 30% 的数据满足：1 ≤ n, Q ≤ 50
对于 70% 的数据满足：1 ≤ n, Q ≤ 2000
对于 100% 的数据满足，1 ≤ n ≤ 2000, 1 ≤ Q ≤ 100000, 1 ≤ ai ≤ 200

先预处理
以每个i为中心比a[i]大的为1，小的为0
记录左右比a[i]大的为x（ 1 - i<= x <= i - 1）的树最靠边的在那
从中间枚举看左右位置和是否为0

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 2000 + 10;int n,a[maxn];int l[maxn * 2],r[maxn * 2],cnt,w[maxn],f[maxn][maxn];int read() {    int x = 0, f = 1;    char ch = getchar();    while(ch < '0' || ch > '9') {        if(ch == '-') f = -1;        ch = getchar();    }       while(ch >= '0' && ch <= '9') {        x = x * 10 + ch - '0';          ch = getchar();    }    return x * f;}int init() {    for(int i = 1; i <= n; i++) {        memset(l,255,sizeof(l)); l[n] = 0;        memset(r,255,sizeof(r)); r[n] = 0;        cnt = 0;                    for(int j = i - 1; j > 0; j--) {            if(a[i] < a[j]) cnt++;            if(a[i] >= a[j]) cnt--;            l[n + cnt] = i - j;        }        cnt = 0;        for(int j = i + 1; j <= n; j++) {            if(a[i] <= a[j]) cnt++;            if(a[i] > a[j]) cnt--;            r[n + cnt] = j - i;        }        for(int j = 1 - i; j <= i - 1; j++)         if(l[n + j] >= 0 && r[n - j] >= 0){            w[i] = max(w[i],l[n + j] + r[n - j] + 1);        }    }}int main() {    freopen("beautiful.in","r",stdin);    freopen("beautiful.out","w",stdout);    n = read();    for(int i = 1; i <= n; i++) {        a[i] = read();    }    init();    for(int i = 1; i <= n; i++) {        f[i][i] = w[i];        for(int j = i + 1;j <= n; j++) {            f[i][j] = max(f[i][j-1],w[j]);        }    }    int T = read();    while(T--) {        int l = read(), r = read();        cout<<f[l][r]<<endl;    }    return 0;}

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xor

2.1 题目᧿䘠
从前有一个长度为 n 的数组 a[]，求所有的 lowbit(AixorAj) 之和，其中 1 ≤ i ≤ n 且
1 ≤ j ≤ n
输出答案对 998244353 取模
科普：
xor 指异或操作，在 C++ 中的运算符号为ˆ，运算法则为：0 xor 0 = 0, 0 xor 1 = 1, 1 xor
0 = 1, 1 xor 1 = 0
lowbit(x) = 2k，其中 k 为最小的满足 2k and x ̸= 0 的非负整数

2.2 输入Ṭᔿ
第一行一个整数 T，表示数据组数
对于每组数据
第一行一个正整数 n，表示数组长度
第二行 n 个非负整数，第 i 个整数为 Ai

2.3 输出Ṭᔿ
每组数据输出一行 Case #x: ans。x 表示组数编号，从 1 开始。ans 为所求值。

2.4 样ֻ输入输出
2.5 Sample Input
2
5
4 0 2 7 0
5
2 6 5 4 0

2.6 Sample Output
Case #1: 36
Case #2: 40

2.7 数据范围৺㓖定
所有的 Ai 都在 int 范围内，所有数据满足 1 ≤ T ≤ 10

测试点 n, m
1, 2, 3 ≤ 1000
4, 5, 6 ≤ 5000
7, 8, 9, 10 ≤ 5 ∗104

//写过树状数组竟然不知道lowbit（lowbit可以60）~~
lowbit

int lowbit(int x){    return x&(-x);}

正解是分治+tire树的些思想
相当于建立了一个由01构成的trie树
对于每一个节点的子节点左边表示为1 右边表示为0
数目相当于左子树 * 右子树
类似有归并排序（当然trie也可以暴力做

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int mod = 998244353;const int maxn = 50000 + 100;int n,T;long long sum;int a[maxn];int read() {    int x = 0, f = 1;    char ch = getchar();    while(ch < '0' || ch > '9') {        if(ch == '-') f = -1;        ch = getchar();    }       while(ch >= '0' && ch <= '9') {        x = x * 10 + ch - '0';        ch = getchar();    }    return x * f;}void dfs(int l ,int r, int k) {    if(l >= r || k > 30) return;    int p = l - 1;    for(int i = l; i <= r; i++) {        if(a[i] & (1<<k)) {            p++;            swap(a[i],a[p]);        }    }    sum += (long long)(r - p) * (p - l + 1) % mod * (1<<k) % mod;    sum %= mod;    dfs(l,p,k + 1);    dfs(p+1,r,k + 1);}void work(int t) {    n = read();    for(int i = 1; i <= n; i++) {        a[i] = read();    }    sum = 0;    dfs(1,n,0);    sum = (sum * 2) % mod;    printf("Case #%d: %d\n",t,sum);}int main() {    freopen("xor.in","r",stdin);    freopen("xor.out","w",stdout);    T = read();    for(int i = 1; i <= T; i++) {        work(i);    }    return 0;}

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Permutation

3.1 题目᧿䘠
从前，有一个长度为 n 的排列 p
每次把排列的每个循环拿出来，写成标准循环，再做一次排序
循环：排列第 i 位为 p[i]，如果我们令 i 点到 p[i] 点连一条边，那么会形成若干个简单环，
每个简单环所有的 p[i] 就构成一个循环
比如排列 [4, 1, 6, 2, 5, 3]，有 3 个循环 (421)(63)(5)
每个循环从任意一个位置开始读都是一样的
比如 (412) 也是 (124),(241)。n 个循环就一共 n 个表达法
我们规定一个标准循环是以循环内最大的数字开头
循环之间排序的关键字就是第一个数字的大小
如 (421)(63)(5) 排序后是 (421)(5)(63)
如果排序后的排列和原排列一样，那么就是可行排列
求 n 个数的字典序第 k 大的可行排列

3.2 输入Ṭᔿ
两个整数，n，k
保证 k 在 long long 范围内，保证有解

3.3 输出Ṭᔿ
n 个整数，表示满足条件的排列

3.4 样ֻ输入 1
4 3

3.5 样ֻ输出 1
1 3 2 4

3.6 样ֻ解䟺 1
n=4 时，字典序最小的三个可行排列依次是
1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4

3.7 样ֻ输入 2
10 1
3.8 样ֻ输出 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.9 数据范围的约定
对于 30% 的数据满足：1 ≤ n ≤ 10
对于 100% 的数据满足，1 ≤ n ≤ 50

奇葩的结论（竟然与裴波那契数列有关）
可以发现只有两个紧挨着的数发生交换才为可行排列
以5为例
1 2 3 4 5 – 1
1 2 3 5 4 – 1 + 1
1 2 4 3 5 –
1 3 2 4 5 – 3 + 1
1 3 2 5 4 –
2 1 3 4 5 – 5 + 1
2 1 3 5 4 –
2 1 4 3 5 –
所以每次交换后有为第f[i]位（f[i]为裴波那契数列）
递推下即可

代码

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int maxn = 100;int a[maxn],n;long long k,f[maxn];void dfs(int val,long long k) {    if(!k) return;    for(int i = val; i < n;i++) {        if(k > f[n - i]) {            swap(a[i],a[i + 1]);            dfs(val + 2, k - f[n - i]);            return;         }    }}int main() {    freopen("Permutation.in", "r", stdin);    freopen("Permutation.out", "w", stdout);    cin>>n>>k;    f[0] = 1, f[1] = 1;    for(int i = 2; i <= n; i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2];    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;    dfs(1,k);    for(int i = 1; i <= n; i++) cout<<a[i]<<' ';    cout<<endl;    return 0;}