Python3：《机器学习实战》之支持向量机（3）完整版SMO

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• 代码地址：https://github.com/WordZzzz/ML/tree/master/Ch06
• 操作系统：WINDOWS 10
• 软件版本：python-3.6.2-amd64
• 编  者：WordZzzz

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前言

  在小规模数据集上，上一篇文章中的简化版SMO是没有问题的，但是在更大的数据集上，运行速度就会变慢。

  完整版SMO和简化版SMO，实现alpha的更改个代数运算的优化环节一模一样。在优化过程中，唯一的不同就是选择alpha的方式。完整版的SMO算法应用了一些能够提速的启发方法。

  Platt SMO算法通过一个外循环来选择第一个alpha，并且其选择过程会在两种方式之间进行切换：一种是在所有数据集上进行单遍扫描，另一种则是在非边界alpha（不等于边界0或C的alpha值）中实现单遍扫描。对整个数据集的扫描很容易，前面已经实现了，而实现非边界alpha值的扫描时，需要建立这些alpha值得列表，然后再对这个表进行遍历。同时，该步骤会跳过那些已知的不会改变的alpha值。

  在选择第一个alpha值之后，算法会通过一个内循环来选择第二个alpha。在优化过程中，会通过最大化步长的方式来获得第二个alpha值。在简化版SMO算法中，我们会在选择j之后计算错误率Ej。但在这里，我们会建立一个全局的缓存用于保存误差值，并从中选择使得步长或者Ei-Ej最大的alpha值。

支持函数

  和简化版一样，完整版也需要一些支持函数。

• 首要的事情就是建立一个数据结构来保存所有的重要值，而这个过程可以通过一个对象来完成；
• 对于给定的alpha值，第一个辅助函数calcEk()能够计算E值并返回（因为调用频繁，所以必须要单独拎出来）；
• selectJ()用于选择第二个alpha或者说内循环的alpha值，选择合适的值以保证在每次优化中采用最大步长；
• updateEk()用于计算误差值并将其存入缓存中。

'''#######********************************Non-Kernel VErsions below'''#######********************************class optStruct:    """    Function：   存放运算中重要的值    Input：      dataMatIn：数据集                classLabels：类别标签                C：常数C                toler：容错率    Output： X：数据集                labelMat：类别标签                C：常数C                tol：容错率                m：数据集行数                b：常数项                alphas：alphas矩阵                eCache：误差缓存    """     def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):        self.X = dataMatIn        self.labelMat = classLabels        self.C = C        self.tol = toler        self.m = shape(dataMatIn)[0]        self.alphas = mat(zeros((self.m, 1)))        self.b = 0        self.eCache = mat(zeros((self.m, 2)))def calcEk(oS, k):    """    Function：   计算误差值E    Input：      oS：数据结构                k：下标    Output： Ek：计算的E值    """     #计算fXk，整个对应输出公式f(x)=w`x + b    fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * (oS.X * oS.X[k,:].T)) + oS.b       #计算E值    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])    #返回计算的误差值E    return Ekdef selectJ(i, oS, Ei):    """    Function：   选择第二个alpha的值    Input：      i：第一个alpha的下标                oS：数据结构                Ei：计算出的第一个alpha的误差值    Output： j：第二个alpha的下标                Ej：计算出的第二个alpha的误差值    """     #初始化参数值    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0    #构建误差缓存    oS.eCache[i] = [1, Ei]    #构建一个非零列表，返回值是第一个非零E所对应的alpha值，而不是E本身    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:, 0].A)[0]    #如果列表长度大于1，说明不是第一次循环    if (len(validEcacheList)) > 1:        #遍历列表中所有元素        for k in validEcacheList:            #如果是第一个alpha的下标，就跳出本次循环            if k == i: continue            #计算k下标对应的误差值            Ek = calcEk(oS, k)            #取两个alpha误差值的差值的绝对值            deltaE = abs(Ei - Ek)            #最大值更新            if (deltaE > maxDeltaE):                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek        #返回最大差值的下标maxK和误差值Ej        return maxK, Ej    #如果是第一次循环，则随机选择alpha，然后计算误差    else:        j = selectJrand(i, oS.m)        Ej = calcEk(oS, j)    #返回下标j和其对应的误差Ej    return j, Ejdef updateEk(oS, k):    """    Function：   更新误差缓存    Input：      oS：数据结构                j：alpha的下标    Output： 无    """     #计算下表为k的参数的误差    Ek = calcEk(oS, k)    #将误差放入缓存    oS.eCache[k] = [1, Ek]

优化例程

  接下来简单介绍一下用于寻找决策边界的优化例程。

  大部分代码和之前的smoSimple()是一样的，区别在于：

• 使用了自己的数据结构，该结构在oS中传递；
• 使用selectJ()而不是selectJrand()来选择第二个alpha的值；
• 在alpha值改变时更新Ecache。

def innerL(i, oS):    """    Function：   完整SMO算法中的优化例程    Input：      oS：数据结构                i：alpha的下标    Output： 无    """     #计算误差    Ei = calcEk(oS, i)    #如果标签与误差相乘之后在容错范围之外，且超过各自对应的常数值，则进行优化    if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):        #启发式选择第二个alpha值        j, Ej = selectJ(i, oS, Ei)        #利用copy存储刚才的计算值，便于后期比较        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alpahJold = oS.alphas[j].copy();        #保证alpha在0和C之间        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):            L = max(0, oS.alphas[j] - oS. alphas[i])            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])        else:            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])        #如果界限值相同，则不做处理直接跳出本次循环        if L == H: print("L==H"); return 0        #最优修改量，求两个向量的内积（核函数）        eta = 2.0 * oS.X[i, :]*oS.X[j, :].T - oS.X[i, :]*oS.X[i, :].T - oS.X[j, :]*oS.X[j, :].T        #如果最优修改量大于0，则不做处理直接跳出本次循环，这里对真实SMO做了简化处理        if eta >= 0: print("eta>=0"); return 0        #计算新的alphas[j]的值        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta        #对新的alphas[j]进行阈值处理        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)        #更新误差缓存        updateEk(oS, j)        #如果新旧值差很小，则不做处理跳出本次循环        if (abs(oS.alphas[j] - alpahJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); return 0        #对i进行修改，修改量相同，但是方向相反        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alpahJold - oS.alphas[j])        #更新误差缓存        updateEk(oS, i)        #更新常数项        b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i, :]*oS.X[i, :].T - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alpahJold) * oS.X[i, :]*oS.X[j, :].T        b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i, :]*oS.X[j, :].T - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alpahJold) * oS.X[j, :]*oS.X[j, :].T        #谁在0到C之间，就听谁的，否则就取平均值        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b2        else: oS.b = (b1 + b2) / 2.0        #成功返回1        return 1    #失败返回0    else: return 0

外循环代码

  外循环代码的输入和函数smoSimple()完全一样。整个代码的主体是while循环，终止条件：当迭代次数超过指定的最大值，或者遍历整个集合都未对任意alpha对进行修改时，就退出循环。while循环内部与smoSimple()中有所不同，一开始的for循环在数据集上遍历任意可能的alpha。通过innerL()来选择第二个alpha，并在可能时对其进行优化处理。如果有任意一对alpha值发生改变，就会返回1.第二个for循环遍历所有的非边界alpha值，也就是不在边界0或C上的值。

def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):    """    Function：   完整SMO算法    Input：      dataMatIn：数据集                classLabels：类别标签                C：常数C                toler：容错率                maxIter：最大的循环次数    Output： b：常数项                alphas：数据向量    """     #新建数据结构对象    oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler)    #初始化迭代次数    iter = 0    #初始化标志位    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0    #终止条件：迭代次数超限、遍历整个集合都未对alpha进行修改    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):        alphaPairsChanged = 0        #根据标志位选择不同的遍历方式        if entireSet:            #遍历任意可能的alpha值            for i in range(oS.m):                #选择第二个alpha值，并在可能时对其进行优化处理                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)                print("fullSet, iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))            #迭代次数累加            iter += 1        else:            #得出所有的非边界alpha值            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]            #遍历所有的非边界alpha值            for i in nonBoundIs:                #选择第二个alpha值，并在可能时对其进行优化处理                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)                print("non-bound, iter: %d i: %d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))            #迭代次数累加            iter += 1        #在非边界循环和完整遍历之间进行切换        if entireSet: entireSet = False        elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet =True        print("iteration number: %d" % iter)    #返回常数项和数据向量    return oS.b, oS.alphas

  测试代码，大家有兴趣的话可以多次运行计算一下运行时间的平均值，看看和简化版相比快了多少。

>>> reload(svmMLiA)<module 'svmMLiA' from 'E:\\机器学习实战\\mycode\\Ch06\\svmMLiA.py'>>>> dataArr, labelArr = svmMLiA.loadDataSet('testSet.txt')>>> b, alphas = svmMLiA.smoP(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)L==HfullSet, iter: 0 i: 0, pairs changed 0L==HfullSet, iter: 0 i: 1, pairs changed 0fullSet, iter: 0 i: 2, pairs changed 1L==H···j not moving enoughfullSet, iter: 2 i: 97, pairs changed 0fullSet, iter: 2 i: 98, pairs changed 0fullSet, iter: 2 i: 99, pairs changed 0iteration number: 3

  像之前一样，打印b和alpha，得出的数据用来画图。

>>> bmatrix([[-2.89901748]])>>> alphas[alphas > 0]matrix([[ 0.06961952,  0.0169055 ,  0.0169055 ,  0.0272699 ,  0.04522972,          0.0272699 ,  0.0243898 ,  0.06140181,  0.06140181]])>>> from numpy import *>>> shape(alphas[alphas > 0])(1, 9)>>> for i in range(100):...     if alphas[i] > 0.0: print(dataArr[i], labelArr[i])... [3.542485, 1.977398] -1.0[2.114999, -0.004466] -1.0[8.127113, 1.274372] 1.0[4.658191, 3.507396] -1.0[8.197181, 1.545132] 1.0[7.40786, -0.121961] 1.0[6.960661, -0.245353] 1.0[6.080573, 0.418886] 1.0[3.107511, 0.758367] -1.0

  常数C一方面要保障所有样例的间隔不小于1.0，另一方面又要使得分类间隔要尽可能大，并且要在这两方面之间平衡。如果C很大，那么分类器就会将力图通过分隔超平面对多有的样例都正确分类。这种优化结果如下图，很明显，支持向量变多了。如果数据集非线性可分，就会发现支持向量会在超平面附近聚集成团。

分类测试

好了，终于可以拿我们计算出来的alpha值进行分类了。首先必须基于alpha值得到超平面，这也包括了w的计算。

def calcWs(alphas, dataArr, classLabels):    """    Function：   计算W    Input：      alphas：数据向量                dataArr：数据集                classLabels：类别标签    Output： w：w*x+b中的w    """     #初始化参数    X = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).transpose()    #获取数据行列值    m,n = shape(X)    #初始化w    w = zeros((n,1))    #遍历alpha，更新w    for i in range(m):        w += multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)    #返回w值    return w

  上述代码中最重要的就是for循环，实现多个数的乘积。虽然for循环遍历了数据集中的所有数据，但是最终起作用的只有支持向量。

>>> reload(svmMLiA)<module 'svmMLiA' from 'E:\\机器学习实战\\mycode\\Ch06\\svmMLiA.py'>>>> from numpy import *>>> ws = svmMLiA.calcWs(alphas, dataArr, labelArr)>>> wsarray([[ 0.65307162],       [-0.17196128]])>>> datMat = mat(dataArr)>>> datMat[0]* mat(ws)+bmatrix([[-0.92555695]])>>> labelArr[0]-1.0>>> datMat[1]* mat(ws)+bmatrix([[-1.36706674]])>>> labelArr[1]-1.0>>> datMat[2]* mat(ws)+bmatrix([[ 2.30436336]])>>> labelArr[2]1.0

  上面的测试中，计算值大于0属于1类，小于0属于-1类。

  至此，线性分类器介绍完了，如果数据集非线性可分，那么我们就需要引入核函数的概念了，下一篇将进行介绍。

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完的汪(∪｡∪)｡｡｡zzz