田忌赛马的证明过程

HDU1052的贪心证明

符号定义如下：

​ T小：田忌当前最小的马。 T大：田忌当前最大的马。

​ Q小：齐王当前最小的马。 Q大：齐王当前最大的马。

1、若Q小 < T小，即Q小 < T小 < T全部，此时田忌付出任何代价都会获得胜利，因此最优情况为付出代价最小的情况。所以T小 > Q小时，用T小对战Q小。

2、若T小 < Q小，此时T小无法战胜任意一匹马，此时其利益即为消耗齐王马匹，因此选择消耗齐王最强的马。所以T小 < Q小时，用T小对战Q大。

此时只剩T小 = Q小的情况了。在讨论T小 = Q小之前，我们先来讨论几个必要问题：

3、最优情况是否会出现两个以上不同的平局情况？

​ 假设出现三个平局的情况例如：3-3 5-5 6-6，则我们可以转换为3-6 5-3 6-5，此时更优， 因此不会出现两个以上不同的平局情况。

4、两个平局的情况是否都可以等价的转换为无平局情况？

​ 假设最优的情况对应为：1-1 3-3，我们转换为1-3 3-1，对于原方案是等价的。

结论：最优策略总可以等价为最多只有一个平局的策略。

5、若T大 > Q大，则此时T大是否应与Q大匹配？若不与Q大匹配，则其只能为以下几种情况：

• 替代掉唯一的平局，则会使平局数-1，而被解放的马只能解放更小的马，因此并不能继续将胜局扩大，总有一匹马要与Q大匹配，这会产生一个败局，因此这种情况的解决为，将一个胜局与一个平局变为一个一个胜局与一个败局，因此不优。

• 替代掉一个胜局，有上述情况类似。

• 替代掉一个败局，由结论2、3、4可知，此时替换出来的为一个更劣的马，因此无法产生更优的解。

  综上，若T大 > Q大，则总是用T大去对战Q大。

开始考虑T小 = Q小 的情况：

6、若T小 = Q小，此时T小分为选择Q小，或不选择Q小，若不选择Q小，根据2.的结论，应选择Q大，因此该情况下T小的选择只有两种：Q小、Q大。由于结论5，此时Q大与T大的关系只有两种：

• T大 < Q大，此时田忌没有马能战胜Q大，因此付出最小代价，最优解为：用T小对战Q大。
• T大 = Q大，此时：
  
  • 若其余情况存在平局情况，则出现3个平局的情况，根据结论3，总应该用T小对战Q大得到最优解。
  • 若其余情况不存在平局情况，则根据结论4，用T小对战Q大 与 对战Q小等价。

综上所述，若T小 = Q小，用T小对战Q大总为最优情况。

但此时的收益可能存在特殊情况，若Q小 = T小 = T大，收益为0，否则即为Q小 = T小 < T大，收益为-200。

7、对结论2、5的一个思考：优先考虑T大 > Q大不受结论2的约束。

结论：

若T大 > Q大，T大对战Q大，收益+200；

否则，若T小 > Q小，T小对战Q小，收益+200；

否则，若T小 < Q小，T小对战Q大，收益 -200；

否则，即为T小 = Q小，此时用T小对战Q大：若T小 = Q大，收益为0；否则，收益 -200。