04动态规划进阶---背包问题

背包问题可能是动态规划算法中最经典的问题了，三种最常见的背包问题分别是0-1背包问题，完全背包问题和多重背包问题。关于这三种背包的讲解网上有很多，但是很多只是给出状态转移方程或写出伪代码，或者是只给出0-1背包和完全背包的代码但并没有多重背包的代码，因此本文在这里将系统地总结这三种背包问题的最佳解法及相应java代码。

题1.经典的0-1背包问题。给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。比如说，现在有一个背包，它一共能装50的物品，现在有三种物品，重量分别10,20,30，价值分别为60,100,120,每种物品最多选一次，问如何选可以在不超过背包容量的情况下获取的价值最大。

首先分析本题的状态转移方程，设dp[i][j]表示取到第i件物品，背包容量为j时，背包所装物品的价值，对于每一件物品，要不选要么不选，则

dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]}.

根据上述状态转移方程，可写出最基本的执行代码如下：

public class DP4 {/** * @param wj *///0-1背包问题，非压缩矩阵public static int func1(int capacity,int n,int[] w,int[] v){if(n==1) return v[0];int [][] dp=new int[n][capacity+1];//注意dp列长度为capacity+1for(int i=0;i<n;i++){for(int j=w[i];j<=capacity;j++){if(i>=1){//防止dp数组下标越界dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);}else dp[i][j]=v[i];}}return dp[n-1][capacity];}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint capacity=50;int [] w={10,20,30};int [] v={60,100,120};int n=3;//物品数量System.out.println(func1(capacity,n, w, v));//220}}

代码执行结果为220.

可以看到上述方法使用了一个二维数组来解决问题，虽然最直观最容易理解，但空间复杂度比较高。于是考虑能否将二维数组压缩为一维数组来解决问题。幸运地是，通过逆序方式，可以将二维数组压缩为一维数组，读者可以手动模拟一下算法执行过程，可以看到当将j逆序循环时，后一个状态值恰好等于前一个状态的执行结果，状态转移方程为dp[j]=max{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]}，相当于省去了i之后，等号右边的dp[j]和dp[j-w[i]]+v[i]依然相当于dp[i-1][j]和dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。有疑惑的话可以手动模拟算法过程看看，笔者曾手动模拟过，觉得这种方法确实很神奇。相应代码如下： 

public class DP4 {/** * @param wj *///0-1背包问题，压缩矩阵public static int func2(int capacity,int n,int[] w,int[] v){int [] dp=new int[capacity+1];//注意dp列长度为capacity+1for(int i=0;i<n;i++){for(int j=capacity;j>=w[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);}}return dp[capacity];}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint capacity=50;int [] w={10,20,30};int [] v={60,100,120};int n=3;System.out.println(func2(capacity,n, w, v));//220}}

代码执行结果为220。

可以看到上述方法将二维数组压缩为一维，空间复杂度大大降低。

题2.完全背包问题。有了0-1背包的基础，现在来看看完全背包问题。所谓完全背包就是在0-1背包的基础上，每件物品都有无数件，且每件物品可以取多件，求能装入背包的最大价值。

本题的状态转移方程为：dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]}，其中k<=capacity/w[i]。如果用这个转移方程来求解是比较麻烦，我们同样可以考虑压缩矩阵，压缩之后的状态转移方程为：dp[j]=max{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]},注意这里的j不再是逆序而是顺序，这是与0-1背包代码的唯一区别，有疑惑的可以手动模拟计算过程，相应代码如下：

public class DP4 {/** * @param wj *///完全背包问题，压缩矩阵public static int func3(int capacity,int n,int[] w,int[] v){int[] dp=new int[capacity+1];//注意dp列长度为capacity+1for(int i=0;i<n;i++){for(int j=w[i];j<=capacity;j++){dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);}}return dp[capacity];}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint capacity=50;int [] w={10,20,30};int [] v={60,100,120};int n=3;System.out.println(func3(capacity,n, w, v));//300}}

代码执行结果为300.即第一件物品取了5件。

题3.多重背包问题。本题是完全背包的变形，即现在每种物品有num[i]件，每种物品可取多件但不能超过num[i]件，求能装入背包的最大价值。

本题的状态转移方程与完全背包相似，dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]}，其中k<=num[i].我们依然采用压缩矩阵的方法，得出一维矩阵下的状态转移方程为：

dp[j]=max{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]},需要注意的是，这里的j需要逆序，而且需要多一个循环用来存放第i个物品的数量num[i]，代码如下：

public class DP4 {/** * @param wj *///多重背包问题，压缩矩阵public static int func4(int capacity,int n,int[] w,int[] v,int[] num){int[] dp=new int[capacity+1];//注意dp列长度为capacity+1for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<num[i];j++){for(int k=capacity;k>=w[i];k--){dp[k]=Math.max(dp[k], dp[k-w[i]]+v[i]);}}}return dp[capacity];}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint capacity=50;int [] w={10,20,30};int [] v={60,100,120};int [] num={3,4,5};//多重背包问题，各物品数量int n=3;System.out.println(func4(capacity, n, w, v, num));//280}}

代码的执行结果为：280，相当于第一件物品取3件，第二件物品取1件。

以上就是最常见的关于背包问题的分析与解法，希望对读者有一定帮助，有没解释清楚的地方大家也可以百度看看大牛们对背包问题，尤其是压缩矩阵的理解，笔者才疏学浅，要多向大佬们学习。