[POJ3744]Scout YYF I 期望DP

说在前面

话说咱们一个初三的神犇的名字也是YYF（笑）
贴一份他的题解吧=w=yyf0309
这个题，是me第一次写矩阵快速幂，感觉写起来…..其实和普通快速幂几乎是一样的，只不过原来是数字相乘，现在是矩阵相乘而已。
而且还拿了个1A，开心！

---

题面

（某个）YYF在数轴上的1号点，他有p的概率向右跳一格，1-p的概率向右跳两格。数轴上分布有N个地雷，当（某个）YYF踩到地雷的时候，他就死了。问（某个）YYF安全的走过雷区的概率是多少

输入

多组数据，EOF结束
每组数据包含两行，第一行两个数字：整数N（≤10）和实数p（范围[0.25,0.75] ）
第二行N个数，表示雷的位置（范围[1,100000000]）

输出

每组数据输出一行一个实数，表示答案。保留七位小数。

---

题解

如果YYF遇到了一个地雷，并且还要能安全通过，那么只能是从地雷的前一格跳两步到地雷的后一格。
那么我们把整个数轴依据地雷所在位置划分成若干区域，如果YYF成功的越过了第i个雷，那么他下一步一定站在pos[i]+1上，到下一个雷被炸的概率就是从pos[i]+1跳到pos[i+1]的概率，用1减去这个概率得到的就是他安全通过的概率。

于是定义f[i]表示，到i位置YYF还活着的概率，明显有f[i] = p * f[i-1] + (1-p) * f[i-2]。
特别的，雷所在的位置的f值都为0【显然】

---

看似结束了的样子，然而数据规模特别大(1e8)，还有多组数据，以至于我们直接递推会TLE。那么我们肯定需要对上述方法进行优化

解法一：矩阵快速幂
我们发现，这个递推式是形如f[i] = A * f[i-1] + B * f[i-2] + C * f[i-3] ….. 的形式，对于这类递推，我们都可以用矩阵乘法进行优化，如下所示：

[p11−p0][ f[i−1]  f[i−2] ]=[ p∗f[i−1]+(1−p)∗f[i−2] 1∗f[i−1]]=[ f[i]  f[i−1] ]

（这LaTex写的我心累= =）
好，我们发现，每计算一次，就相当于是乘上了一个矩阵

[p11−p0]

那么对于每一小段之内的转移，我们就可以靠矩阵快速幂来辅助快速转移。
矩阵快速幂我就不讲了，原理和普通快速幂是一样的

解法二：dp收束
在liu_runda的博客园里，me见到了一种很新奇的解法。
就是说，因为每次我们转移都是f[i] = p * f[i-1] + (1-p) * f[i-2]，并且p是固定的，因此这个dp存在收束性。可能转移了很多次之后，f会无限的逼近某一个值，我们只需要让这个”逼近”的误差在题目承受范围内就可以了。
liu_runda取的转移上限是500项，也就是说，大于如果一个雷离某个格子已经大于了500格，那么这个雷对那些格子的概率影响可以忽略不计，因此直接把远处的雷缩过来就好了
贴一个他的题解：liu_runda的POJ3744题解

---

下面是自带大常数的代码

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std ;int N , pos[15] ;double p , tg[2][2] , tp[2] ;double M_pow( int b ){    double gm[2][2] = { { p , 1-p },                        { 1 , 0   } } ;    double s[2] = { 1 , 0 } ;    while( b ){        if( b&1 ){            tp[0] = gm[0][0] * s[0] + gm[0][1] * s[1] ;            tp[1] = gm[1][0] * s[0] + gm[1][1] * s[1] ;            s[0] = tp[0] ; s[1] = tp[1] ;        }        for( int i = 0 ; i <= 1 ; i ++ )            for( int j = 0 ; j <= 1 ; j ++ )                for( int k = 0 ; k <= 1 ; k ++ )                    tg[i][j] += gm[i][k] * gm[k][j] ;        for( int i = 0 ; i <= 1 ; i ++ )            for( int j = 0 ; j <= 1 ; j ++ )                gm[i][j] = tg[i][j] , tg[i][j] = 0 ;        b >>= 1 ;    }    return s[0] ;}int main(){    while( scanf( "%d%lf" , &N , &p ) != EOF ){        for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )            scanf( "%d" , &pos[i] ) ;        sort( pos , pos + N + 1 ) ;        double ans = 1 ;        for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )            ans *= ( 1 - M_pow( pos[i] - pos[i-1] - 1 ) ) ;        printf( "%.7f\n" , ans ) ;    }}