Mathematical Morphology —— Path Operator

关于数学形态学的基本操作 Dilation, Erosion, Closing 和 Opening 操作在此不再赘述，各种博文满天飞。这篇博客简要介绍一下当前一种比较新的 Mathematical Morphology 操作 —— Path Operator 和 RoRPO。

1 . Concept

需要注意的，我们所提及的所有滤波器都是 Oriented Filter ，直观理解就是这种滤波器是具有特定 Orientation。应用这种方向性滤波器进行 curvilinear structure 检测，首先要针对于 curvilinear 的特征 —— 由于线状结构通常具有各向异性，因此 （包含各种方向）对于 blob 或者 planar 结构具有高响应的方向个数一般要高于 curvilinear 结构高响应个数。 所以通过计数方向滤波器组的高响应的个数就能够区分不同结构。

绿色箭头代表具有高响应值的方向滤波器的方向，红色箭头代表低响应值的方向滤波器的方向。

那么问题来了，Oriented Filter 有很多很多，为什么我们要采用 Path Operator 呢？
(1) 常用的方向滤波器的计算邻域往往是 isotropic，但是对于 anisotropic 的线状结构，Path operator 利用适应于线状结构的各向异性邻域计算响应，可以得到更加准确的结果。
(2) Path Operator 能够处理局部失真的问题。(b)图是利用传统线状SE进行opening操作的结果。(c)是用同样SE的Path Opening 操作的结果。

(3) 对于 Edge preserve 的优势。基于高斯尺度空间的滤波器一般会造成 edge 的移动 （Fangi Vesselness）
(4) 需要调节的参数仅仅只有 path length L。

2 . Path Operator （包括 Path Opening 和 Path Closing 操作，下面仅仅分析 Path Opening 操作）

直观而言，Path Opening 操作利用具有给定长度（Path Length）的方向性连接的多个像素（Path）作为 形态学操作的 SE。

2.1 形态学操作SE —— Path 的定义
注意这里定义的相邻关系是不反射，不对称的。我们用依次相连的 L 个像素定义具有长度 L 的 Path。 。我们定义 是具有 连接性的长度为 L 的 Path 的总集合， 表示 Path 的所有像素。

3.2 二值 Opening 和 Grey-Level Opening 操作
给定连接性 和 长度 L 的二值 Path Opening 操作定义为 所有具有连接性 和 长度 L 的 Path 的并集：

简单来说，Grey-level 的 Path Opening 操作 是通过对每个灰度级进行阈值处理得到的二值图像进行二值 Path Opening 得到的。

3.3 Orientation-Space Sampling
上面定义的 Path Operator 离不开连接关系的定义，得到的 Path Opening 操作能够保留对应 Orientation 的性质。所以为了检测出所有朝向的线状结构，需要不同 Orientation 的组合。（对于三维线状结构的检测需要7种 Orientation）

3 . Ranking The Orientation Responses Of Path Operator

通过逐点排序不同 orientation 的 path opening 操作的响应，来计数具有高响应的 path opening 操作的个数。从上面示意图可得，首先对原图进行 4种不同方向 的 path opening 操作，得到对应4个响应图。对这4个响应图进行逐点取值的排序，RF1图表示其中每个点都是上面4个响应图中对应位置最大的，RF2..RF4同理可得。