上节课我们主要介绍了Random Forest算法模型。Random Forest就是通过bagging的方式将许多不同的decision tree组合起来。除此之外，在decision tree中加入了各种随机性和多样性，比如不同特征的线性组合等。RF还可以使用OOB样本进行self-validation，而且可以通过permutation test进行feature selection。本节课将使用Adaptive Boosting的方法来研究decision tree的一些算法和模型。
Adaptive Boosted Decision Tree
Random Forest的算法流程我们上节课也详细介绍过，就是先通过bootstrapping“复制”原样本集D，得到新的样本集D’；然后对每个D’进行训练得到不同的decision tree和对应的gt；最后再将所有的gt通过uniform的形式组合起来，即以投票的方式得到G。这里采用的Bagging的方式，也就是把每个gt的预测值直接相加。现在，如果将Bagging替换成AdaBoost，处理方式有些不同。首先每轮bootstrap得到的D’中每个样本会赋予不同的权重u(t)；然后在每个decision tree中，利用这些权重训练得到最好的gt；最后得出每个gt所占的权重，线性组合得到G。这种模型称为AdaBoost-D Tree。
但是在AdaBoost-DTree中需要注意的一点是每个样本的权重u(t)。我们知道，在Adaptive Boosting中进行了bootstrap操作，u(t)表示D中每个样本在D’中出现的次数。但是在决策树模型中，例如C&RT算法中并没有引入u(t)。那么，如何在决策树中引入这些权重u(t)来得到不同的gt而又不改变原来的决策树算法呢？
在Adaptive Boosting中，我们使用了weighted algorithm，形如：
Euin(h)=1N∑n=1Nun⋅err(yn,h(xn))
每个犯错误的样本点乘以相应的权重，求和再平均，最终得到了Euin(h)。如果在决策树中使用这种方法，将当前分支下犯错误的点赋予权重，每层分支都这样做，会比较复杂，不易求解。为了简化运算，保持决策树算法本身的稳定性和封闭性，我们可以把决策树算法当成一个黑盒子，即不改变其结构，不对算法本身进行修改，而从数据来源D’上做一些处理。按照这种思想，我们来看权重u实际上表示该样本在bootstrap中出现的次数，反映了它出现的概率。那么可以根据u值，对原样本集D进行一次重新的随机sampling，也就是带权重的随机抽样。sampling之后，会得到一个新的D’，D’中每个样本出现的几率与它权重u所占的比例应该是差不多接近的。因此，使用带权重的sampling操作，得到了新的样本数据集D’，可以直接代入决策树进行训练，从而无需改变决策树算法结构。sampling可看成是bootstrap的反操作，这种对数据本身进行修改而不更改算法结构的方法非常重要！
所以，AdaBoost-DTree结合了AdaBoost和DTree，但是做了一点小小的改变，就是使用sampling替代权重u(t)，效果是相同的。
上面我们通过使用sampling，将不同的样本集代入决策树中，得到不同的gt。除此之外，我们还要确定每个gt所占的权重αt。之前我们在AdaBoost中已经介绍过，首先算出每个gt的错误率ϵt，然后计算权重：
αt=ln ⋄t=ln1−ϵtϵt−−−−−√
如果现在有一棵完全长成的树（fully grown tree），由所有的样本xn训练得到。若每个样本都不相同的话，一刀刀切割分支，直到所有的xn都被完全分开。这时候，Ein(gt)=0，加权的Euin(gt)=0而且ϵt也为0，从而得到权重αt=∞。αt=∞表示该gt所占的权重无限大，相当于它一个就决定了G结构，是一种autocracy，而其它的gt对G没有影响。
显然αt=∞不是我们想看到的，因为autocracy总是不好的，我们希望使用aggregation将不同的gt结合起来，发挥集体智慧来得到最好的模型G。首先，我们来看一下什么原因造成了αt=∞。有两个原因：一个是使用了所有的样本xn进行训练；一个是树的分支过多，fully grown。针对这两个原因，我们可以对树做一些修剪（pruned），比如只使用一部分样本，这在sampling的操作中已经起到这类作用，因为必然有些样本没有被采样到。除此之外，我们还可以限制树的高度，让分支不要那么多，从而避免树fully grown。
因此，AdaBoost-DTree使用的是pruned DTree，也就是说将这些预测效果较弱的树结合起来，得到最好的G，避免出现autocracy。
刚才我们说了可以限制树的高度，那索性将树的高度限制到最低，即只有1层高的时候，有什么特性呢？当树高为1的时候，整棵树只有两个分支，切割一次即可。如果impurity是binary classification error的话，那么此时的AdaBoost-DTree就跟AdaBoost-Stump没什么两样。也就是说AdaBoost-Stump是AdaBoost-DTree的一种特殊情况。
值得一提是，如果树高为1时，通常较难遇到ϵt=0的情况，且一般不采用sampling的操作，而是直接将权重u代入到算法中。这是因为此时的AdaBoost-DTree就相当于是AdaBoost-Stump，而AdaBoost-Stump就是直接使用u来优化模型的。
Optimization View of AdaBoost
接下来，我们继续将继续探讨AdaBoost算法的一些奥妙之处。我们知道AdaBoost中的权重的迭代计算如下所示：
之前对于incorrect样本和correct样本，u(t+1)n的表达式不同。现在，把两种情况结合起来，将u(t+1)n写成一种简化的形式：
u(t+1)n=u(t)n⋅⋄−yngt(xn)t=u(t)n⋅exp(−ynαtgt(xn))
其中，对于incorrect样本，yngt(xn)<0，对于correct样本，yngt(xn)>0。从上式可以看出，u(t+1)n由u(t)n与某个常数相乘得到。所以，最后一轮更新的u(T+1)n可以写成u(1)n的级联形式，我们之前令u(1)n=1N，则有如下推导：
u(T+1)n=u(1)n⋅∏t=1Texp(−ynαtgt(xn))=1N⋅exp(−yn∑t=1Tαtgt(xn))
上式中∑Tt=1αtgt(xn)被称为voting score，最终的模型G=sign(∑Tt=1αtgt(xn))。可以看出，在AdaBoost中，u(T+1)n与exp(−yn(voting score on xn))成正比。
接下来我们继续看一下voting score中蕴含了哪些内容。如下图所示，voting score由许多gt(xn)乘以各自的系数αt线性组合而成。从另外一个角度来看，我们可以把gt(xn)看成是对xn的特征转换ϕi(xn)，αt就是线性模型中的权重wi。看到这里，我们回忆起之前SVM中，w与ϕ(xn)的乘积再除以w的长度就是margin，即点到边界的距离。另外，乘积项再与yn相乘，表示点的位置是在正确的那一侧还是错误的那一侧。所以，回过头来，这里的voting score实际上可以看成是没有正规化（没有除以w的长度）的距离，即可以看成是该点到分类边界距离的一种衡量。从效果上说，距离越大越好，也就是说voting score要尽可能大一些。
我们再来看，若voting score与yn相乘，则表示一个有对错之分的距离。也就是说，如果二者相乘是负数，则表示该点在错误的一边，分类错误；如果二者相乘是正数，则表示该点在正确的一边，分类正确。所以，我们算法的目的就是让yn与voting score的乘积是正的，而且越大越好。那么在刚刚推导的u(T+1)n中，得到exp(−yn(voting score))越小越好，从而得到u(T+1)n越小越好。也就是说，如果voting score表现不错，与yn的乘积越大的话，那么相应的u(T+1)n应该是最小的。
那么在AdaBoost中，随着每轮学习的进行，每个样本的u(t)n是逐渐减小的，直到u(T+1)n最小。以上是从单个样本点来看的。总体来看，所有样本的u(T+1)n之和应该也是最小的。我们的目标就是在最后一轮（T+1）学习后，让所有样本的u(T+1)n之和尽可能地小。u(T+1)n之和表示为如下形式：
上式中，∑Tt=1αtgt(xn)被称为linear score，用s表示。对于0/1 error：若ys<0，则err0/1=1；若ys>=0，则err0/1=0。如下图右边黑色折线所示。对于上式中提到的指数error，即err^ADA(s,y)=exp(−ys)，随着ys的增加，error单调下降，且始终落在0/1 error折线的上面。如下图右边蓝色曲线所示。很明显，err^ADA(s,y)可以看成是0/1 error的上界。所以，我们可以使用err^ADA(s,y)来替代0/1 error，能达到同样的效果。从这点来说，∑Nn=1u(T+1)n可以看成是一种error measure，而我们的目标就是让其最小化，求出最小值时对应的各个αt和gt(xn)。
下面我们来研究如何让∑Nn=1u(T+1)n取得最小值，思考是否能用梯度下降（gradient descent）的方法来进行求解。我们之前介绍过gradient descent的核心是在某点处做一阶泰勒展开：
其中，wt是泰勒展开的位置，v是所要求的下降的最好方向，它是梯度∇Ein(wt)的反方向，而η是每次前进的步长。则每次沿着当前梯度的反方向走一小步，就会不断逼近谷底（最小值）。这就是梯度下降算法所做的事情。
现在，我们对EˇADA做梯度下降算法处理，区别是这里的方向是一个函数gt，而不是一个向量wt。其实，函数和向量的唯一区别就是一个下标是连续的，另一个下标是离散的，二者在梯度下降算法应用上并没有大的区别。因此，按照梯度下降算法的展开式，做出如下推导：
上式中，h(xn)表示当前的方向，它是一个矩，η是沿着当前方向前进的步长。我们要求出这样的h(xn)和η，使得EˇADA是在不断减小的。当EˇADA取得最小值的时候，那么所有的方向即最佳的h(xn)和η就都解出来了。上述推导使用了在−ynηh(xn)=0处的一阶泰勒展开近似。这样经过推导之后，EˇADA被分解为两个部分，一个是前N个u之和∑Nn=1u(t)n，也就是当前所有的Ein之和；另外一个是包含下一步前进的方向h(xn)和步进长度η的项−η∑Nn=1u(t)nynh(xn)。EˇADA的这种形式与gradient descent的形式基本是一致的。
那么接下来，如果要最小化EˇADA的话，就要让第二项−η∑Nn=1u(t)nynh(xn)越小越好。则我们的目标就是找到一个好的h(xn)（即好的方向）来最小化∑Nn=1u(t)n(−ynh(xn))，此时先忽略步进长度η。
对于binary classification，yn和h(xn)均限定取值-1或+1两种。我们对∑Nn=1u(t)n(−ynh(xn))做一些推导和平移运算：
最终∑Nn=1u(t)n(−ynh(xn))化简为两项组成，一项是−∑Nn=1u(t)n；另一项是2Eu(t)in(h)⋅N。则最小化∑Nn=1u(t)n(−ynh(xn))就转化为最小化Eu(t)in(h)。要让Eu(t)in(h)最小化，正是由AdaBoost中的base algorithm所做的事情。所以说，AdaBoost中的base algorithm正好帮我们找到了梯度下降中下一步最好的函数方向。
以上就是从数学上，从gradient descent角度验证了AdaBoost中使用base algorithm得到的gt就是让EˇADA减小的方向，只不过这个方向是一个函数而不是向量。
在解决了方向问题后，我们需要考虑步进长度η如何选取。方法是在确定方向gt后，选取合适的η，使EˇADA取得最小值。也就是说，把EˇADA看成是步进长度η的函数，目标是找到EˇADA最小化时对应的η值。
目的是找到在最佳方向上的最大步进长度，也就是steepest decent。我们先把EˇADA表达式写下来：
EˇADA=∑n=1Nu(t)nexp(−ynηgt(xn))
上式中，有两种情况需要考虑：
经过推导，可得：
EˇADA=(∑n=1Nu(t)n)⋅((1−ϵt)exp(−η)+ϵt exp(+η))
然后对η求导，令∂EˇADA∂η=0，得：
ηt=ln1−ϵtϵt−−−−−√=αt
由此看出，最大的步进长度就是αt，即AdaBoost中计算gt所占的权重。所以，AdaBoost算法所做的其实是在gradient descent上找到下降最快的方向和最大的步进长度。这里的方向就是gt，它是一个函数，而步进长度就是αt。也就是说，在AdaBoost中确定gt和αt的过程就相当于在gradient descent上寻找最快的下降方向和最大的步进长度。
Gradient Boosting
前面我们从gradient descent的角度来重新介绍了AdaBoost的最优化求解方法。整个过程可以概括为：
以上是针对binary classification问题。如果往更一般的情况进行推广，对于不同的error function，比如logistic error function或者regression中的squared error function，那么这种做法是否仍然有效呢？这种情况下的GradientBoost可以写成如下形式：
仍然按照gradient descent的思想，上式中，h(xn)是下一步前进的方向，η是步进长度。此时的error function不是前面所讲的exp了，而是任意的一种error function。因此，对应的hypothesis也不再是binary classification，最常用的是实数输出的hypothesis，例如regression。最终的目标也是求解最佳的前进方向h(xn)和最快的步进长度η。
接下来，我们就来看看如何求解regression的GradientBoost问题。它的表达式如下所示：
利用梯度下降的思想，我们把上式进行一阶泰勒展开，写成梯度的形式：
上式中，由于regression的error function是squared的，所以，对s的导数就是2(sn−yn)。其中标注灰色的部分表示常数，对最小化求解并没有影响，所以可以忽略。很明显，要使上式最小化，只要令h(xn)是梯度2(sn−yn)的反方向就行了，即h(xn)=−2(sn−yn)。但是直接这样赋值，并没有对h(xn)的大小进行限制，一般不直接利用这个关系求出h(xn)。
实际上h(xn)的大小并不重要，因为有步进长度η。那么，我们上面的最小化问题中需要对h(xn)的大小做些限制。限制h(xn)的一种简单做法是把h(xn)的大小当成一个惩罚项（h2(xn)）添加到上面的最小化问题中，这种做法与regularization类似。如下图所示，经过推导和整理，忽略常数项，我们得到最关心的式子是：
min ∑n=1N((h(xn)−(yn−sn))2)
上式是一个完全平方项之和，yn−sn表示当前第n个样本真实值和预测值的差，称之为余数。余数表示当前预测能够做到的效果与真实值的差值是多少。那么，如果我们想要让上式最小化，求出对应的h(xn)的话，只要让h(xn)尽可能地接近余数yn−sn即可。在平方误差上尽可能接近其实很简单，就是使用regression的方法，对所有N个点(xn,yn−sn)做squared-error的regression，得到的回归方程就是我们要求的gt(xn)。
以上就是使用GradientBoost的思想来解决regression问题的方法，其中应用了一个非常重要的概念，就是余数yn−sn。根据这些余数做regression，得到好的矩gt(xn)，方向函数gt(xn)也就是由余数决定的。
在求出最好的方向函数gt(xn)之后，就要来求相应的步进长度η。表达式如下：
同样，对上式进行推导和化简，得到如下表达式：
上式中也包含了余数yn−sn，其中gt(xn)可以看成是xn的特征转换，是已知量。那么，如果我们想要让上式最小化，求出对应的η的话，只要让ηgt(xn)尽可能地接近余数yn−sn即可。显然，这也是一个regression问题，而且是一个很简单的形如y=ax的线性回归，只有一个未知数η。只要对所有N个点(ηgt(xn),yn−sn)做squared-error的linear regression，利用梯度下降算法就能得到最佳的η。
将上述这些概念合并到一起，我们就得到了一个最终的演算法Gradient Boosted Decision Tree(GBDT)。可能有人会问，我们刚才一直没有说到Decison Tree，只是讲到了GradientBoost啊？下面我们来看看Decison Tree究竟是在哪出现并使用的。其实刚刚我们在计算方向函数gt的时候，是对所有N个点(xn,yn−sn)做squared-error的regression。那么这个回归算法就可以是决策树C&RT模型（决策树也可以用来做regression）。这样，就引入了Decision Tree，并将GradientBoost和Decision Tree结合起来，构成了真正的GBDT算法。GBDT算法的基本流程图如下所示：
值得注意的是，sn的初始值一般均设为0，即s1=s2=⋯=sN=0。每轮迭代中，方向函数gt通过C&RT算法做regression，进行求解；步进长度η通过简单的单参数线性回归进行求解；然后每轮更新sn的值，即sn←sn+αtgt(xn)。T轮迭代结束后，最终得到G(x)=∑Tt=1αtgt(x)。
值得一提的是，本节课第一部分介绍的AdaBoost-DTree是解决binary classification问题，而此处介绍的GBDT是解决regression问题。二者具有一定的相似性，可以说GBDT就是AdaBoost-DTree的regression版本。
Summary ofAggregation Models
从机器学习技法课程的第7节课笔记到现在的第11节课笔记，我们已经介绍完所有的aggregation模型了。接下来，我们将对这些内容进行一个简单的总结和概括。
首先，我们介绍了blending。blending就是将所有已知的gt aggregate结合起来，发挥集体的智慧得到G。值得注意的一点是这里的gt都是已知的。blending通常有三种形式：
uniform：简单地计算所有gt的平均值
non-uniform：所有gt的线性组合
conditional：所有gt的非线性组合
其中，uniform采用投票、求平均的形式更注重稳定性；而non-uniform和conditional追求的更复杂准确的模型，但存在过拟合的危险。
刚才讲的blending是建立在所有gt已知的情况。那如果所有gt未知的情况，对应的就是learning模型，做法就是一边学gt，一边将它们结合起来。learning通常也有三种形式（与blending的三种形式一一对应）：
Bagging：通过bootstrap方法，得到不同gt，计算所有gt的平均值
AdaBoost：通过bootstrap方法，得到不同gt，所有gt的线性组合
Decision Tree：通过数据分割的形式得到不同的gt，所有gt的非线性组合
然后，本节课我们将AdaBoost延伸到另一个模型GradientBoost。对于regression问题，GradientBoost通过residual fitting的方式得到最佳的方向函数gt和步进长度η。
除了这些基本的aggregation模型之外，我们还可以把某些模型结合起来得到新的aggregation模型。例如，Bagging与Decision Tree结合起来组成了Random Forest。Random Forest中的Decision Tree是比较“茂盛”的树，即每个树的gt都比较强一些。AdaBoost与Decision Tree结合组成了AdaBoost-DTree。AdaBoost-DTree的Decision Tree是比较“矮弱”的树，即每个树的gt都比较弱一些，由AdaBoost将所有弱弱的树结合起来，让综合能力更强。同样，GradientBoost与Decision Tree结合就构成了经典的算法GBDT。
Aggregation的核心是将所有的gt结合起来，融合到一起，即集体智慧的思想。这种做法之所以能得到很好的模型G，是因为aggregation具有两个方面的优点：cure underfitting和cure overfitting。
第一，aggregation models有助于防止欠拟合（underfitting）。它把所有比较弱的gt结合起来，利用集体智慧来获得比较好的模型G。aggregation就相当于是feature transform，来获得复杂的学习模型。
第二，aggregation models有助于防止过拟合（overfitting）。它把所有gt进行组合，容易得到一个比较中庸的模型，类似于SVM的large margin一样的效果，从而避免一些极端情况包括过拟合的发生。从这个角度来说，aggregation起到了regularization的效果。
由于aggregation具有这两个方面的优点，所以在实际应用中aggregation models都有很好的表现。
总结
本节课主要介绍了Gradient Boosted Decision Tree。首先讲如何将AdaBoost与Decision Tree结合起来，即通过sampling和pruning的方法得到AdaBoost-D Tree模型。然后，我们从optimization的角度来看AdaBoost，找到好的hypothesis也就是找到一个好的方向，找到权重α也就是找到合适的步进长度。接着，我们从binary classification的0/1 error推广到其它的error function，从Gradient Boosting角度推导了regression的squared error形式。Gradient Boosting其实就是不断迭代，做residual fitting。并将其与Decision Tree算法结合，得到了经典的GBDT算法。最后，我们将所有的aggregation models做了总结和概括，这些模型有的能防止欠拟合有的能防止过拟合，应用十分广泛。
注明：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程
