链表问题---环形单链表的约瑟夫问题

【题目】

　　据说著名犹太历史学家Josephus有过如下故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人和Josephus及他的朋友躲进一个洞里，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第一个人开始报数，报数到3的人就自杀，再由下一个人重新报1，报数到3的人就自杀，这样依次下去，知道剩下最后一个人时，那个人可以自由选择自己的命运。这就是著名的约瑟夫问题。现在请用单向链表描述该结构并呈现整个自杀过程。
　　
　　输入：一个环形单向链表的头节点head和报数的值m
　　返回：最后生存下来的节点，且这个节点自己组成环形单向链表，其他节点都删掉。

　　进阶：如果链表节点数为N，想在时间复杂度为O(N)时完成原问题的要求，该怎么实现？

【基本思路】

　　普通解法。
　　1、在环形链表中遍历每个节点，不断转圈，不断让每个节点报数。
　　2、当报数为m时，就删除当前报数的节点。
　　3、删除节点后把剩下的节点继续连成一个环，继续转圈报数，继续删除。
　　4、不断的删除，直到只留下一个节点，过程结束。
　　普通解法删除一个节点需要遍历m次，一共要删除n-1个节点，所以总的时间复杂度为O(n*m)。

　　进阶解法。
　　普通解法之所以复杂度高，是因为我们不知道到底哪个节点会留下来。所以依靠不断的遍历删除，直到只留下一个节点。如果我们能不通过遍历，而是直接算出最后活下来的节点是哪个，就可以降低时间复杂度。

　　如何计算呢？首先如果环形链表的节点数为n，那么从头节点开始编号，头节点编号为1，下一个编号为2……最后一个节点编号为n。然后考虑如下：

　　如果只剩下一个节点，那么幸存的节点就是该节点，编号为1，即Live(1) = 1
　　如果剩下两个节点，幸存的节点为Live(2)
　　如果剩下三个节点，幸存的节点为Live(3)
　　如果剩下i-1个节点，幸存的节点为Live(i-1)
　　如果剩下i个节点，幸存的节点为Live(i)
　　如果剩下n个节点，幸存的节点为Live(n)
　　
　　已经知道live(1) = 1，如果再确定Live(i-1)和Live(i)到底是什么关系，我们就可以通过递归过程求出Live(n)。

　　首先我们分析如下问题：如果一个节点数为n的链表，编号从头节点到末尾为1～n，如果删除编号为s的一个节点，那么剩下的节点的编号将会如何变化，如图所示。
　　

　　设原链表的编号为y，删除一个节点后的编号为x，我们可以得到如下的公式 y = (x + s - 1) % n + 1。因此，我们可以根据Live(i-1)以及被删除的节点编号求得Live(i)的值。那么现在的问题就变成了如何求被删除节点的编号。
　　

　　如图所示。对于每一个节点，如果报数值还不到m，就会一直报数下去，1～n～2n……由图我们可以得到一个报数值A与编号B的关系，即B = (A-1) % n + 1。如果报数报到m，报数的节点就是要删除的节点，那么该节点的编号根据公式可以得出 s = (m-1) % n + 1。

　　得到被删除节点的编号s，我们就可以得到Live(i-1)与Live(i)之间的关系：Live(i) = (Live(i-1) + s - 1) % i + 1。其中Live(i-1)可以通过向上递归得到，s = (m-1) % i + 1。两式合并后，结果为 Live(i) = (Live(i-1) + m - 1) % i + 1。

　　整个过程总结如下：
　　1、遍历链表，得到链表的节点数n，O(n)
　　2、根据n和m的值，以及上文推导的Live(i)与Live(i-1)的关系，递归求得幸存节点的编号。该递归是单决策递归且递归为n层，所以时间复杂度为O(n)
　　3、根据得到的幸存节点的编号，遍历链表找到该节点，O(n)
　　所以总体时间复杂度为O(n)。

【代码实现】

#python3.5def josephusKill1(head, m):    if head == None or head.next == None or m < 1:        return head    pre = head    while pre.next != head:        pre = pre.next    count = 1    while head != pre:        if count != m:            head = head.next            pre = pre.next            count += 1        else:            pre.next = head.next            head = pre.next            count = 1    return headdef josephusKill2(head, m):    def getLive(n, m):        if n == 1:            return 1        return (getLive(n-1, m) + m - 1) % n + 1    if head == None or head.next == None or m < 1:        return head    n = 1    cur = head    while cur.next != head:        n += 1        cur = cur.next    n = getLive(n, m)    while n-1 != 0:        n -= 1        head = head.next    head.next = head    return head