一图详解仿射变换的旋转矩阵推导

如图所示，有三条线段OA，OS，OT，线段端点的坐标分别是O(0,0)，A(b,0)，S(j,k)，T(m,n)；

三条线段的关系如下：

OA顺时针旋转α度得到OS，OA顺时针旋转(α+β)度得到OT，OS顺时针旋转β度得到OT。

因为三条线段的长度相等，所以由三角函数可得到

1、OA顺时针旋转α度得到OS：

j=cos(α)*b

k=sin(α)*b

2、OA顺时针旋转(α+β)度得到OT：

m=cos(α+β)*b=(cosαcosβ-sinαsinβ)*b

n=sin(α+β)*b=(sinαcosβ+sinβcosα)*b

3、OS顺时针旋转β度得到OT：

     由1得：

j/b=cos(α)

k/b=sin(α)

     由2得：

m/b=cos(α+β)*b=(cosαcosβ-sinαsinβ)

n/b=sin(α+β)*b=(sinαcosβ+sinβcosα)

将j/b、k/b带入2中，可解得：

m=j*cosβ-k*sinβ

n=j*sinβ+k*sinβ

转化成矩阵形式如下：