用Python实现最速下降法求极值

原文：http://blog.csdn.net/u012705410/article/details/47254437

最速下降法就是梯度下降法

对于一个多元函数f(x)=f(x1,x2,⋯,xn)，用最速下降法（又称梯度下降法）求其极小值的迭代格式为 

xk+1=xk+αkdk

其中dk=−gk=−∇f(xk)为负梯度方向，即最速下降方向，αk为搜索步长。

一般情况下，最优步长αk的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下（使用版本为Python3.3）：

'''线性搜索子函数'''import numpy as npimport randomdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):    flag=0    a=0    b=alpham    fk=f(x)    gk=df(x)    phi0=fk    dphi0=np.dot(gk,d)    alpha=b*random.uniform(0,1)    while(flag==0):        newfk=f(x+alpha*d)        phi=newfk        if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):            if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):                flag=1            else:                a=alpha                b=b                if(b<alpham):                    alpha=(a+b)/2                else:                    alpha=t*alpha        else:            a=a            b=alpha            alpha=(a+b)/2    return alpha
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上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例，即有 

f(x)=100(x2−x21)2+(1−x1)2

于是可得函数的梯度为 

g(x)=∇f(x)=(−400(x2−x21)x1−2(1−x1),200(x2−x21))T

最速下降法的代码如下：

"""最速下降法Rosenbrock函数函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)"""import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport randomdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):    flag=0    a=0    b=alpham    fk=f(x)    gk=df(x)    phi0=fk    dphi0=np.dot(gk,d)    alpha=b*random.uniform(0,1)    while(flag==0):        newfk=f(x+alpha*d)        phi=newfk        if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):            if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):                flag=1            else:                a=alpha                b=b                if(b<alpham):                    alpha=(a+b)/2                else:                    alpha=t*alpha        else:            a=a            b=alpha            alpha=(a+b)/2    return alphadef rosenbrock(x):    return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2def jacobian(x):    return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线def steepest(x0):    print('初始点为:')    print(x0,'\n')    imax = 20000    W=np.zeros((2,imax))    W[:,0] = x0    i = 1    x = x0    grad = jacobian(x)    delta = sum(grad**2)  # 初始误差    while i<imax and delta>10**(-5):        p = -jacobian(x)        x0=x        alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)        x = x + alpha*p        W[:,i] = x        grad = jacobian(x)        delta = sum(grad**2)        i=i+1    print("迭代次数为:",i)    print("近似最优解为:",x)    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点    return Wx0 = np.array([-1.2,1])W=steepest(x0)plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹plt.show()

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当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

初始点为:[-1.2  1. ] 迭代次数为: 1504近似最优解为:[ 1.00318532  1.00639618]
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迭代点的轨迹为 

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到

初始点为:[-1.2  1. ] 迭代次数为: 1994近似最优解为:[ 0.99735222  0.99469882] 
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所得图像为