算法浅谈：DFS

今天我想给大家说一下DFS算法，DFS（Depth First Searching）是一种基于递归的算法，其中文名为深度优先搜索算法，那么我们先来通过一个简单的例子了解一下DFS算法的工作原理。
我们假定如下一个无向图：

我让你求一条A1到A4的路径。
这很好求吧，我们从A1出发，考虑它的邻接点A2（注意这是一个无向图），那么从A2下去就可以到达A4，因此我们得出一条路径A1->A2->A4。
那么我换一种问法。
我让你求所有从A1到A4的路径呢？
（事情似乎变得有趣了起来）
那么你可能就会想，那我就可以考虑A1所有的邻接点啊，然后往下走，走不通再从A1重新走啊。
对，这就是DFS算法的本质，回溯。
我们再假定如下一个无向图：

可以看到我把A3到A5的路给抹掉了，那么在邻接点搜索当中，A1->A2->A4和A1->A3->A4都是两条走得通的路，但是A1->A5，这条路到不了A4，就歇菜了。
A1->A5正是我们上面所说的走不通的路
在计算机中实现无向图需要用到数据结构的知识，考虑到读者初学算法知识，不一定知道典型的数据结构，因此我们先略过不讲。
那么我们来看几道经典的DFS问题。
1.八皇后问题
八皇后问题是此前每日一题曾经出现过的题目，用到了DFS算法，现在我对八皇后问题中的DFS思想进行简单的讲述。
我们进行模拟落子，首先在第一行的i 1  列放下一个皇后，然后判断是否有冲突，没有冲突则在第二行的i 2  列放下一个皇后，判断是否有冲突。一直到第n行的第i n  列，其中i 1 ,i 2 ,……,i n  为1,2,……,n 的一个自然排序。
那这里是怎么用到DFS算法的呢？
DFS的算法就是先从起点开始尝试走一条路，走不通就回来换另一个邻接点继续走。
在八皇后问题中，我们如果要确定一种解法，就相当于我们要在棋盘上走一条八皇后不会冲突的路。那么我们的起点是第一行的某一列，开始往第二行的某一列去走……一直到第n行的某一列，如果走不通，回到第一行，换一个起点，继续走。
这种运用DFS算法的代码中，谁是谁的邻接点呢？
此处不能叫邻接点了，应该叫邻接行，因为棋盘上相邻两行之间都是邻接的，因此可以说第2行是第1行的邻接行，第3行是第2行的邻接行……一直到第n行是第n-1行的邻接行。
因此我们的棋盘可以抽象成一个具有n个起点的无向图。
2.加法拆分问题
这个是国庆大礼包里面的一个题目，大致就是，给你一个正整数n，你要输出将n拆分成加数不小于2不大于n的加法等式。（其中加数均为正整数）
例子：
n=7的时候
7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+4
7=1+1+5
7=1+6
7=1+1+1+2+2
7=1+1+2+3
7=1+3+3
7=3+4
等等
那这道题怎么做？
首先我们知道，最容易找到的等式是n个1相加等于n
那么我们假设加数的个数为k
因为2≤k≤n
因而我们可以以k为目标开始搜索。
k=2的时候，我们设n=a+b，a=1开始
那么k=2搜索结束的时候，就是a>b的时候
k=3的时候n=a+b+c，搜索结束的时候就是a>⌊n3 ⌋ 的时候（默认a为最小数，因为a大了之后，会和前面的式子重复，比如7=2+2+3和7=3+2+2是一个式子，但是这个时候a已经大于了a>⌊n3 ⌋ ，因此如果不限定a为整个式子里的最小数，就会有重解）
那每次搜索的时候，退出递归的条件就是a+b+c+d+……=n
不然的话就回溯到a继续搜，对于当前a如果都没有解，则a++，直到a>⌊nk ⌋ 
那么这个搜索和八皇后的尝试放皇后的方法几乎是一样的，请大家尝试理解。
小结：
DFS算法是递归的一种体现，就是让计算机帮助你模拟循环（使用递归），从最初的起点出发，找到最终的路。DFS算法最经典的运用是用来走迷宫，因为你的起点只有一个，但是迷宫的路有很多条，其中有一些是死胡同，那么我们先开始一步一步走（递归），发现死胡同（DFS已经到达了尽头，但判断出不是终点），回到起点（回溯），重新走没有走过的路（DFS重新向深处搜索），直到发现通往终点的路（DFS搜索到达尽头，而且发现尽头恰好是终点）。如果通往终点的路不止一条，大家就可以用DFS算法将整个迷宫的路都走一遍，直到找到所有通往终点的路。
迷宫这个例子我觉得是很好理解的，想想小时候是怎么用牙签或者手指代替你来走迷宫，你是否找不到路就回去起点重新走了呢？（当然迷宫问题有更好的智能算法，此处不展开）
——KarK.Li
——2017.10.14
我的博客中的N皇后问题解法