K-means（K均值原型聚类）

K-means原理：
所谓物以类聚，人以群分。相似的人们总是相互吸引在一起。

数据也是一样。在kNN中，某个数据以与其他数据间的相似度来预测其标签，而K-means是一群无标记数据间的因为自我相似的聚拢。显而易见，K-means的目标为簇内密集而簇间稀疏。

简单来说就是首先先确定k个初始点作为质心，然后将数据集中的每一个点分配到一个距其最近的簇中，这一步完成后将每个簇的质心更新为该簇所有点的平均值，直至中心不再变化。

算法实现：（Python）

def distEclud(vecA, vecB):#计算两个向量的欧式距离    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))def randCent(dataSet, k):#随机质心    n = shape(dataSet)[1]    centroids = mat(zeros((k,n)))    for j in range(n):        minJ = min(dataSet[:,j])         rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)        centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))    return centroidsdef kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):    m = shape(dataSet)[0]    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))#存储每个点的分配，即簇索引值和误差    centroids = createCent(dataSet, k)    clusterChanged = True    while clusterChanged:        clusterChanged = False        for i in range(m):            minDist = inf; minIndex = -1            for j in range(k):#寻找最近质心                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])                if distJI < minDist:                    minDist = distJI; minIndex = j            if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True            clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2        print (centroids)        for cent in range(k):#更新质心的位置            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0)    return centroids, clusterAssment

k-means算法简单、快速，效率高，当数据集是密集的、球状或团状的簇群，且簇与簇之间区别明显时，聚类效果很好。但是它也有不少的问题：

使用范围的约束
k-means，k-means，这个平均值（means）被定义的情况下才能使用。而且对有些分类属性的数据不适用。而且对非凸面形状的簇，或者大小差别很大的簇简直无解。

k是用户指派的？k的选择问题
由于k是用户预先定义的参数，那么如何选择k才是最佳的呢？一种度量聚类效果的指标是误差平方和（Sum of Squared Error，SSE），SSE越小表示数据点越接近它们的质心，聚类的效果相对来说也就最好。所以利用SEE的改进方法就是对生成的簇进行后处理，一是将最大的SSE值的簇分成两个（将这个簇的点过滤出后再进行k为2的k-means），而是合并最小的SSE簇。
或者是人工考虑“肘部法则”来选择，即画出不同k值下的代价函数图，这很像一个人的肘部，观察图形可知，当达到一个点时J下降的非常快，之后会很慢，由此来选择k。

但是当遇到高维度、海量的数据集时，人们往往很难准确地估计出K的大小，所以最好使用迭代自组织数据分析法（Iterative Self-Organizing Data Analysis Technique ，ISODATA）来判断。即当属于某个类别的样本数过少时把这个类别去除，当属于某个类别的样本数过多、分散程度较大时把这个类别分为两个子类别。

只能用欧式距离？度量方式的选择
除了根据实际情况进行选择外，还可以参照支持向量机中核函数的思想，将所有样本映射到另外一个特征空间中再进行聚类。

闵可夫斯基距离
欧几里得距离
曼哈顿距离
切比雪夫距离
马氏距离
余弦相似度
皮尔逊相关系数
汉明距离
杰卡德相似系数
编辑距离
DTW 距离
KL 散度

计算距离时间太多？距离度量的优化
elkan K-Means算法利用了两边之和大于等于第三边,以及两边之差小于第三边的三角形性质，来减少计算量，提高时间。

不抗干扰，被噪声扰动影响太大

初质心不同，结果不同？K-means对初值的敏感
K-means非常容易受初识质心的影响，质心的不同，聚类结果可能千差万别。所以为了更好的效果，可以采用二分k均值聚类，即每次都选择有最大误差的簇进行二分，直至k个簇全部创建成功。

算法实现：（Python）

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):#二分k均值聚类    m = shape(dataSet)[0]    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]    centList =[centroid0]    for j in range(m):        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2    while (len(centList) < k):        lowestSSE = inf        for i in range(len(centList)):#遍历每一个簇            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])#计算划分后的两个簇的误差            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])            print ("sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit)            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:#误差之和作为本次划分的误差                bestCentToSplit = i                bestNewCents = centroidMat                bestClustAss = splitClustAss.copy()                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #更新簇的分配结果。将刚刚划分完的0，1编号的结果簇修改编号，由两个数组过滤器来完成        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit        print ('the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit)        print ('the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss))        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#新的质心增加到centroids中        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss    return mat(centList), clusterAssment

原型聚类
K-means之所以为原型聚类就在于它是通过先对原型进行初始化，然后对原型进行不断的迭代求解。当然了，不同的原型刻画方法，求解方式，将产生不同的算法。对K-means来说，初始的k个样本便是它的原型向量。与K-means一样，学习向量量化（Learning Vector Quantization，LVQ）也是尝试找到一组原型向量来刻画该原型，但LVQ的样本是带有标记的，即通过监督信息来辅助聚类。如果你了解一些神经网络，那么LVQ对于你应该很熟悉，它的核心其实就是“适者生存”的竞争策略，只对竞争获胜的神经元进行参数调整，是自组织映射(Self-organizing Maps,SOM)基于监督信息的一种变体。

而它用于聚类也是如此。大致算法思想是从样本集中随机选取一个有标记的样本（x，y），找到最小的那个原型向量p，判断样本的标记y与原型向量的标记是否一致。若一致则更新为p’ = p + a*(x-p)，否则更新为p’ = p - a*(x - p)。 直观上看标记相同则靠拢，不同则远离。

K-means应用：
KMeans参数说明：
KMeans(algorithm=’auto’, copy_x=True, init=’k-means++’, max_iter=300,n_clusters=3, n_init=10, n_jobs=1, precompute_distances=’auto’,random_state=None, tol=0.0001, verbose=0)

algorithm："full"就是传统的K-Means算法， “elkan”是采用elkan K-Means算法。copy_x=True：对是否修改数据的一个标记，如果True，即复制了就不会修改数据。init='k-means++'：初始值选择方式max_iter=300：最大迭代n_clusters=3：k的值n_init=10：初始化质心运行次数n_jobs=1：并行工作数precompute_distances='auto'：是否预计算距离random_state=None：随机状态条件tol=0.0001： 容忍度，即kmeans运行准则收敛的条件verbose=0：冗长模式

MiniBatchKMeans(batch_size=45, compute_labels=True, init=’k-means++’, init_size=None, max_iter=100, max_no_improvement=10, n_clusters=3,n_init=10, random_state=None, reassignment_ratio=0.01, tol=0.0,verbose=0)

batch_size=45：采样集大小compute_labels=True：计算标签init='k-means++'：初始值选择方式init_size=None：质心选择的样本数max_iter=100：最大迭代max_no_improvement=10：连续性的无改善聚类效果的最大阈值n_clusters=3：k的值n_init=10：初始化质心运行次数random_state=None：随机状态条件reassignment_ratio=0.01：某个类别质心被重新赋值的最大次数比例tol=0.0：容忍度，即kmeans运行准则收敛的条件verbose=0：冗长模式

比较这两种模式的聚类表现：

import timeimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.cluster import MiniBatchKMeans, KMeansfrom sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances_argminfrom sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs#s生成数据np.random.seed(0)batch_size = 45centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]n_clusters = len(centers)X, labels_true = make_blobs(n_samples=3000, centers=centers, cluster_std=0.7)#Meansk_means = KMeans(init='k-means++', n_clusters=3, n_init=10)t0 = time.time()k_means.fit(X)t_batch = time.time() - t0#MiniBatchKMeansmbk = MiniBatchKMeans(init='k-means++', n_clusters=3, batch_size=batch_size,                      n_init=10, max_no_improvement=10, verbose=0)t0 = time.time()mbk.fit(X)t_mini_batch = time.time() - t0fig=plt.figure(figsize=(8, 3))fig.subplots_adjust(left=0.02, right=0.98, bottom=0.05, top=0.9)colors = ['#4EACC5', '#FF9C34', '#4E9A06']k_means_cluster_centers = np.sort(k_means.cluster_centers_, axis=0)mbk_means_cluster_centers = np.sort(mbk.cluster_centers_, axis=0)k_means_labels = pairwise_distances_argmin(X, k_means_cluster_centers)mbk_means_labels = pairwise_distances_argmin(X, mbk_means_cluster_centers)order = pairwise_distances_argmin(k_means_cluster_centers,                                  mbk_means_cluster_centers)# KMeansax = fig.add_subplot(1, 3, 1)for k, col in zip(range(n_clusters), colors):    my_members = k_means_labels == k    cluster_center = k_means_cluster_centers[k]    ax.plot(X[my_members, 0], X[my_members, 1], 'w',            markerfacecolor=col, marker='.')    ax.plot(cluster_center[0], cluster_center[1], 'o', markerfacecolor=col,            markeredgecolor='k', markersize=6)ax.set_title('KMeans')ax.set_xticks(())ax.set_yticks(())plt.text(-3.5, 1.8,  'train time: %.2fs\ninertia: %f' % (    t_batch, k_means.inertia_))# MiniBatchKMeansax = fig.add_subplot(1, 3, 2)for k, col in zip(range(n_clusters), colors):    my_members = mbk_means_labels == order[k]    cluster_center = mbk_means_cluster_centers[order[k]]    ax.plot(X[my_members, 0], X[my_members, 1], 'w',            markerfacecolor=col, marker='.')    ax.plot(cluster_center[0], cluster_center[1], 'o', markerfacecolor=col,            markeredgecolor='k', markersize=6)ax.set_title('MiniBatchKMeans')ax.set_xticks(())ax.set_yticks(())plt.text(-3.5, 1.8, 'train time: %.2fs\ninertia: %f' %         (t_mini_batch, mbk.inertia_))#两者的不同聚类点different = (mbk_means_labels == 4)ax = fig.add_subplot(1, 3, 3)for k in range(n_clusters):    different += ((k_means_labels == k) != (mbk_means_labels == order[k]))identic = np.logical_not(different)ax.plot(X[identic, 0], X[identic, 1], 'w',        markerfacecolor='#bbbbbb', marker='.')ax.plot(X[different, 0], X[different, 1], 'w',        markerfacecolor='m', marker='.')ax.set_title('Difference')ax.set_xticks(())ax.set_yticks(())plt.show()

可以发现两者聚类结果只有少量的不同。

SPSS应用

详细介绍就不多说了，运行后打开节点可以看到很多的细节。

和Weka一样，画好图后应用就可以得到结果：

主要参考：
Peter Harrington《Machine learning in action》