矩阵连乘

问题：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

分析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

       完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

     （1）单个矩阵是完全加括号的；

     （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

       例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

Ai....AkAk+1...Aj一组矩阵，ai-1*ak,ak*aj,的递推公式为

0；i=j

f（i，j）=

min(k){f(i,k)+f(k+1,j)+ai-1*ak*aj};i<j,k>=i,k<=j

递归法：

int maxL(char *x,char *y,int i,int j){int t1,t2;if(i==-1||j==-1)return 0;if(x[i]==y[j])return maxL(x,y,i-1,j-1)+1;else{t1=maxL(x,y,i-1,j);t2=maxL(x,y,i,j-1);return t1>t2?t1:t2;}}int main(){char *x="ABCBDAB",*y="BDCABA";printf("最大子序列长度：%d\n",maxL(x,y,lenx,leny));return 0;}

动态规划法：

int main(){char *x="ABCBDAB",*y="BDCABA";int **c;int lenx,leny;lenx=strlen(x);leny=strlen(y);c=new int *[lenx+1];for(int i=0;i<lenx+1;i++)c[i]=new int[leny+1];for(int i=0;i<lenx+1;i++)c[i][0]=0;for(int i=0;i<leny+1;i++)c[0][i]=0;for(int i=1;i<lenx+1;i++)for(int j=1;j<leny+1;j++){if(x[i-1]==y[j-1])c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;elsec[i][j]=c[i-1][j]>c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];}printf("最大子序列长度：%d",c[lenx][leny]);return 0;}

备忘录法：

int **c;int maxL(char *x,char *y,int i,int j){int t1,t2,result;if(c[i][j]>=0)return c[i][j];if(x[i-1]==y[j-1])result=maxL(x,y,i-1,j-1)+1;else{t1=maxL(x,y,i-1,j);t2=maxL(x,y,i,j-1);result=t1>t2?t1:t2;}c[i][j]=result;return result;}int main(){char *x="ABCBDAB",*y="BDCABA";int lenx,leny;lenx=strlen(x);leny=strlen(y);c=new int *[lenx+1];for(int i=0;i<lenx+1;i++)c[i]=new int[leny+1];for(int i=0;i<lenx+1;i++)for(int j=0;j<leny+1;j++)c[i][j]=-1;for(int i=0;i<lenx+1;i++)c[i][0]=0;for(int i=0;i<leny+1;i++)c[0][i]=0;printf("最大子序列长度：%d\n",maxL(x,y,lenx,leny));printf("%d",c[lenx][leny]);return 0;}