【092】韦达定理在一元n次方程中的推广

准备部分

推论1：已知n是大于1的正整数，x是未知数，x_i是常数。 的展开式中，次数最高的项是 xⁿ ，次数第二高的项是 ，常数项是 。由于我们最关心这三项，其他项可以在展开式中忽略。即

证明：

用数学归纳法证明。

当n=2，(x - x₁)(x - x₂) = x² - (x₁ + x₂)x + (-1)²x₁x₂ 命题成立。

当n=3，(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = (x - x₃)[x² - (x₁ + x₂)x + (-1)²x₁x₂]

= x[x² - (x₁ + x₂)x + (-1)²x₁x₂] + (-x₃)[x² - (x₁ + x₂)x + (-1)²x₁x₂]

= x³ - (x₁ + x₂)x² + x₁x₂x + (- x₃)x² + (x₁ + x₂)x₃x - x₁x₂x₃

= x³ - (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x + (-1)³ x₁x₂x₃

命题成立。

当n=k，假设

当n=k+1，

因为我们只关心次数最高的项、次数第二高的项和常数项，所以把上面的式子合并同类项后，可以像下面这样简略表示：

综上所述可以证明推论1 。

正文

复数范围内，如果一元n次方程 a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+···+a₀ = 0 的解是 x₁, x₂, ···, x_n。那么

证明：

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。

已知这些解是x₁, x₂, ···, x_n 。那么一元n次方程可以化成如下形式：

根据推论1:

所以x^n-1 项系数：

常数项：

若n是偶数，则(-1)ⁿ =1，等式 成立。

若n是奇数，则(-1)ⁿ =-1，等式 成立。

所以