HDU5579 LCM & 唯一分解定理 & 排列组合

Description

Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.

 

Input

First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases.
The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L.
It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.

 

Output

For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.

 

Sample Input

2

6 72

7 33

Sample Output

72

0

题目大意：

给你两个数L,G，问你有多少有序数组（x,y,z)满足GCD（x,y,z)=G,LCM(x,y,z)=L,首先如果gcd(x,y,z)=G,

思路分析：

当这样的组合存在的时候，所求与　　求gcd（x,y,z）=1且lcm（x,y,z)=L/G的方法数是等价的。

　　那么：令temp=L/G。

　　对temp进行素数分解：temp=p1^t1 * p2^t2 * ……* pn^tn。

　　因为temp是这三个数的倍数，因而x，y，z的组成形式为：

　　x=p1^i1 * p2^i2 *…… * pn^in;

　　y=p1^j1 * p2^j2 *…… * pn^jn;

　　z=p1^k1 * p2^k2 * …… * pn^kn;

　　对于某一个素因子p：

　　　　　　　　　　因为要满足x，y，z的最大公约数为1，即三个数没有共同的素因子，所以min(i,j,k)=0。

　　　　　　　　　　又因为要满足x，y，z的最小公倍数为temp，即p^t必然要至少存在一个，所以max(i,j,k)=t。

　　　　　　　　　　换言之：至少要有一个p^t，以满足lcm的要求；至多有两个包含p，以满足gcd的要求。

　　　　　　　　　　因而基本的组合方式为（0，p^t，p^k）,k=0-->t。

　　　　　　　　　　而因为（1，2，3）和（2，1，3）是不同的方法，所有满足要求的方法中，除了（0，0，t）和（0，t，t）各有3种排列之外，其余的（0，x，t）(1<=x<=t-1)有6种排列。

　　　　　　　　　　对于某一个素因子p总的方法数为6*（t-1）+2*3=6*t。

　　在根据组合排列的知识，素数与素数之间是分步的关系，因而总的方法数为：6*t1*6*t2*6*t3*...*6*tn

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <set>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 2e5;int p[maxn];int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--)    {        LL L, G;        scanf("%lld%lld", &G, &L);        LL temp = L/G;        int x = sqrt(temp+0.5);        memset(p, 0, sizeof(p));        for(int i = 2; i <= x; i++)        {            while(temp%i ==0)            {                temp/=i;                p[i]++;            }        }        LL ans;        if(temp != 1) ans = 6;//如果L/G本身是素数        else ans = 1;        for(int i = 2; i <= x; i++)        {            if(p[i])                ans *= p[i]*6;        }        if(L%G)            printf("0\n");        else            printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}