Haskell语言学习笔记（26）Identity, IdentityT

Identity Monad

newtype Identity a = Identity { runIdentity :: a }instance Functor Identity where    fmap     = coerceinstance Applicative Identity where    pure     = Identity    (<*>)    = coerceinstance Monad Identity where    m >>= k  = k (runIdentity m)

• newtype Identity a = Identity { runIdentity :: a }
  Identity 类型是个 newtype，也就是对现有类型的封装。该类型只有一个类型参数 a。
  Identity a 封装了一个值：a，用 runIdentity 字段可以取出这个值。
  Identity 是一个用于占位的 Monad。

• instance Monad Identity where
  对比 Monad 类型类的定义，可知 return 函数的类型签名为：
  return :: Identity a
  而 bind 函数的类型签名为：
  (>>=) :: a -> (a -> Identity b) -> Identity b

• m >>= k = k (runIdentity m)

证明 Identity 符合Monad法则：  1. return a >>= f ≡ f areturn a >>= f ≡ Identity a >>= f ≡ f (runIdentity (Identity a)) ≡ f a   2. m >>= return ≡ mm >>= return ≡ (Identity a) >> Identity ≡ Identity (runIdentity (Identity a)) ≡ Identity a ≡ m  3. (m >>= f) >>= g ≡ m >>= (\x -> f x >>= g)(m >>= f) >>= g≡ ((Identity a) >>= f) >>= g≡ f (runIdentity (Identity a)) >> = g≡ f a >> gm >>= (\x -> f x >>= g)  ≡ (Identity a) >>= (\x -> f x >>= g)  ≡ (\x -> f x >>= g) (runIdentity (Identity a))≡ (\x -> f x >>= g) a≡ f a >> g

IdentityT Monad转换器

newtype IdentityT f a = IdentityT { runIdentityT :: f a }instance (Monad m) => Monad (IdentityT m) where    return = IdentityT . return    m >>= k = IdentityT $ runIdentityT . k =<< runIdentityT minstance MonadTrans IdentityT where    lift = IdentityTinstance (MonadIO m) => MonadIO (IdentityT m) where    liftIO = IdentityT . liftIO

• newtype IdentityT f a = IdentityT { runIdentityT :: f a }
  IdentityT 类型是个 newtype，也就是对现有类型的封装。该类型有两个类型参数：内部 Monad 类型参数 f，以及值类型参数 a。
  IdentityT f 类型封装了一个封装在内部 Monad f 中的值：f a，用 runIdentity 字段可以取出这个值。
  Identity 是一个用于占位的 Monad转换器。

• instance (Monad m) => Monad (IdentityT m) where
  如果 m 是个 Monad，那么 IdentityT m 也是一个 Monad。
  对比 Monad 类型类的定义，可知 return 函数的类型签名为：
  return :: IdentityT m a
  而 bind 函数的类型签名为：
  (>>=) :: a -> (a -> IdentityT m b) -> IdentityT m b

• m >>= k = IdentityT $ runIdentityT . k =<< runIdentityT m

证明 IdentityT 符合Monad法则：  1. return a >>= f ≡ f areturn a >>= f≡ (IdentityT . return) a >>= f≡ IdentityT (m a) >>= f≡ IdentityT $ runIdentityT . f =<< runIdentityT (IdentityT (m a))≡ IdentityT $ runIdentityT . f =<< m a≡ IdentityT $ runIdentityT (f a)≡ f a2. m >>= return ≡ m假设 m = IdentityT (n a)m >>= return≡ IdentityT $ runIdentityT . return =<< runIdentityT m≡ IdentityT $ runIdentityT . (IdentityT . return) =<< runIdentityT (IdentityT (n a))≡ IdentityT $ runIdentityT . (IdentityT . return) =<< n a≡ IdentityT $ runIdentityT (IdentityT (n a))≡ IdentityT (n a) ≡ m  3. (m >>= f) >>= g ≡ m >>= (\x -> f x >>= g)(m >>= f) >>= g≡ (IdentityT $ runIdentityT . f =<< runIdentityT m) >>= g≡ IdentityT $ runIdentityT . g =<< runIdentityT (IdentityT $ runIdentityT . f =<< runIdentityT m)≡ IdentityT $ runIdentityT . g =<< (runIdentityT . f =<< runIdentityT m)≡ IdentityT $ (runIdentityT m >>= runIdentityT . f) >>= runIdentityT . gm >>= (\x -> f x >>= g)  ≡ IdentityT $ runIdentityT . (\x -> f x >>= g) =<< runIdentityT m≡ IdentityT $ runIdentityT . (\x -> IdentityT $ runIdentityT . g =<< runIdentityT (f x)) =<< runIdentityT m≡ IdentityT $ (\x -> runIdentityT $ IdentityT $ runIdentityT . g =<< runIdentityT (f x)) =<< runIdentityT m≡ IdentityT $ (\x -> runIdentityT . g =<< runIdentityT (f x)) =<< runIdentityT m≡ IdentityT $ runIdentityT m >>= (\x -> runIdentityT (f x) >>= runIdentityT . g)根据内部 Monad 的法则：(m >>= f) >>= g ≡ m >>= (\x -> f x >>= g)IdentityT $ (runIdentityT m >>= runIdentityT . f) >>= runIdentityT . g≡ IdentityT $ runIdentityT m >>= (\x -> (runIdentityT . f) x >>= runIdentityT . g)≡ IdentityT $ runIdentityT m >>= (\x -> runIdentityT (f x) >>= runIdentityT . g)

证明 StateT 中 lift 函数的定义符合 lift 的法则。1. lift . return ≡ returnlift . return $ a≡ IdentityT (m a)≡ return a2. lift (m >>= f) ≡ lift m >>= (lift . f)假设 m = n a 并且 f a = n b于是 m >>= f = n blift (m >>= f)≡ lift (n b)≡ IdentityT (n b)lift m >>= (lift . f)≡ IdentityT (n a) >>= (\x -> lift . f $ x)≡ IdentityT $ runIdentityT . IdentityT . f =<< runIdentityT (IdentityT (n a))≡ IdentityT $ n a >>= f≡ IdentityT (f a)≡ IdentityT (n b)