P1257 平面上的最接近点对

                                  P1257 平面上的最接近点对

题目描述

给定平面上n个点，找出其中的一对点的距离，使得在这n个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行：n；2≤n≤10000

接下来n行：每行两个实数：x y，表示一个点的行坐标和列坐标，中间用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

仅一行，一个实数，表示最短距离，精确到小数点后面4位。

 

输入输出样例

输入样例#1：

31 11 22 2

输出样例#1：

1.0000

n^2可以卡过洛谷测评机 但是还是分治好

考虑以下分治算法：

设平面上的点都在点集S中，为了将S线性分割为大小大致相等的2个子集S1和S2，我们选取一垂直线l（方程：x=m）来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}。从而使S1和S2分别位于直线l的左侧和右侧，且S=S1∪S2 。由于m是S中各点x坐标值的中位数，因此S1和S2中的点数大致相等。 递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离δ1和δ2。现设δ=min (δ1,δ2)。

若S的最接近点对(p,q)之间的距离d(p,q)<δ则p和q必分属于S1和S2。不妨设p∈S1，q∈S2。那么p和q距直线l的距离均小于δ。因此，我们若用P1和P2分别表示直线l的左边和右边的宽为δ的2个垂直长条，则p∈S1，q∈S2

此时，P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏情况下有n^2/4对这样的候选者。但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查所有这n2/4对候选者。考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d(p,q)<δ。满足这个条件的P2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个δ×2δ的矩形R中，

由δ的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2δ的边3等分，将它的长为δ的边2等分，由此导出6个（δ/2）×（2δ/3）的矩形。

因此d(u,v)≤5δ/6<δ 。这与δ的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者，而不是n^2/4对候选者。

我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

至此，我们用分治法求出平面最接近点对。

 1 #include <cmath> 2 #include <cctype> 3 #include <cstdio> 4 #include <algorithm> 5  6 const double INF=0x3f3f3fLL; 7 const int MAXN=200010; 8  9 int n;10 11 int t[MAXN];12 13 struct node {14     double x,y;15     friend inline bool operator < (node x,node y) {16         if(x.x==y.x) return x.y<y.y;17         return x.x<y.x;18     }19 };20 node E[MAXN];21 22 inline double cal(int i,int j) {23     double x=(E[i].x-E[j].x)*(E[i].x-E[j].x);24     double y=(E[i].y-E[j].y)*(E[i].y-E[j].y);25     return sqrt(x+y);26 }27 28 inline bool cmp(int x,int y) {29     return E[x].y<E[y].y;30 }31 32 inline double merge(int l,int r) {33     double d=INF;34     if(l==r) return d;35     if(l+1==r) return cal(l,r);36     int mid=(l+r)>>1;37     double disl=merge(l,mid);38     double disr=merge(mid+1,r);39     d=disl<disr?disl:disr;40     int tot=0;41     for(int i=l;i<=r;++i) 42       if(abs(E[mid].x-E[i].x)<=d) 43         t[++tot]=i;44     std::sort(t+1,t+1+tot,cmp);45     for(int i=1;i<=tot;++i)46       for(int j=i+1;j<=tot&&E[t[j]].y-E[t[i]].y<d;++j) {47           double dis=cal(t[i],t[j]);48           d=d<dis?d:dis;49       }50     return d;51 }52 53 int hh() {54     scanf("%d",&n);55     for(int i=1;i<=n;++i) 56       scanf("%lf%lf",&E[i].x,&E[i].y);57     std::sort(E+1,E+1+n);58     double ans=merge(1,n);59     printf("%.4lf\n",ans);60     return 0;61 }62 63 int sb=hh();64 int main(int argc,char**argv) {;}

代码