<机器学习系列> 线性回归模型

前言

线性回归模型是机器学习中一个基本回归模型，是许多模型的基础，学习好线性回归模型有助于我们的机器学习，这里简单介绍下线性回归模型并且提供Python代码演示。
如有谬误，请联系指正。转载请注明出处。
联系方式：
e-mail: [e-mail]
QQ: 973926198
github: https://github.com/FesianXu
代码开源：click

---

线性回归

　　回归模型(Regression model)是研究一个变量关于另一个或者另一些变量的依赖关系的模型，比如房价和房子面积，地点等的关系等等，如下图所示。而线性回归(Linear Regression)是其中的一个基本模型。
　　

当我们谈到线性回归模型的时候，大多指的是多元线性回归，其假设为：

y=θTX+b，其中θT=(θ1,θ2,⋯,θn),X∈Rn

　　也就是说这个假设代表了一个在n维空间的超平面，我们需要求得的就是参数θT和b。在有了训练集的情况下，有多种方法可以求出这两个参数，我们一般采用梯度下降法求得，详见博文随机梯度下降法，批量梯度下降法和小批量梯度下降法以及代码实现。

损失函数

　　我们理想模型的目的是尽可能地拟合真实数据Pdata，那么我们就需要一个指标，用于表示模型的预测值与真实值之间的差别，这个指标称为损失函数（loss function, cost function）有很多，如交叉熵，MSE误差, MAE误差等等，这里因为是回归任务，我们选择MSE误差作为损失函数。

MSE函数

　　均方误差（Mean Squared Error， MSE）也称为L2范数损失，代表了真实数据和预测数据之间的差别，在训练中一般是越小，代表模型拟合训练集的能力越好。其表达式为：

L=MSE(y,y^)=1m∑i=1m||yi−yi^||2，m是样本数量

在一些模型中为了求梯度（导数）方便，常常会加上一个常数因子:

L=MSE(y,y^)=12m∑i=1m||yi−yi^||2

其梯度为：

∂L∂θi=−1m∑i=1m[(yi−θTx−b)xi]

∂L∂b=−1m∑i=1m(yi−θTx−b)

模型搭建

整个模型的最优化函数为：

minθ,b12m∑i=1m||yi−yi^||2

yi^=θTxi+b

由梯度下降法可以得到参数的更新公式为：

θi:=θi−η∂L∂θi=θi+1m∑i=1m[(yi−θTx−b)xi]

b:=b−η∂L∂b=b+η1m∑i=1m(yi−θTx−b)

根据采用的随机梯度下降法的策略，可分为SGD，BGD和MBGD，从而选择m的大小。

代码实现，基于python和numpy

数据描述

　　这里的数据为了突出多元回归的目的，我们这里人工产生三维点图数据（x，y作为输入向量，z作为输出向量），并且在x，y，z上加上高斯噪声，如：

x = -10:0.01:10;y = -10:0.01:10;x_randn = randn(1, length(x))*5;x = x+x_randn;y_randn = randn(1, length(y))*5;y = y+y_randn;z = 3*x+4*y+6;z_randn = randn(1, length(z))*10;z = z+z_randn;x = x';y = y';z = z';samples = [x, y, z];save samples.mat

其图像如：

可以看出其是加入了噪声的。

代码

代码和随机梯度下降法，批量梯度下降法和小批量梯度下降法以及代码实现一文中的类似，这里做了一点小改变而已。

import numpy as npimport scipy.io as sioimport randomimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dpath = u'./samples.mat'mat = sio.loadmat(path)dataset = mat['samples']batch_size = 128def random_get_samples(mat, batch_size):    batch_id = random.sample(range(mat.shape[0]), batch_size)    ret_batch = mat[batch_id, 0:2]    ret_line = mat[batch_id, 2:3]    return ret_batch, ret_lineparams = {    'w': np.random.normal(size=(2, 1)),    'b': np.random.normal(size=(1))}def predict(batch):    return np.dot(batch, params['w'])+params['b']learning_rate = 0.0003for i in range(10000):    batch, true_z = random_get_samples(dataset, batch_size)    z_pred = predict(batch)    delta = true_z-z_pred    params['w'] = params['w']+learning_rate*np.reshape(np.transpose(np.sum(delta*batch, axis=0)), (2, 1))/batch_size    params['b'] = params['b']+learning_rate*np.sum(delta)/batch_size    if i % 100 == 0:        print(np.sum(np.abs(delta))/batch_size)fig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)x = dataset[:, 0]y = dataset[:, 1]z = dataset[:, 2]z_pred = predict(dataset[:, 0:2])print(params['w'])print(params['b'])ax.scatter(x, y, z, c='b')ax.scatter(x, y, z_pred, c='r')plt.show()

其结果为：

w = [[ 3.03582457]    [ 4.0155888 ]]b = [ 5.54841543]

可见和预设的参数还是很接近的。绘制出来的图像如：

可见对训练数据集进行了很好地拟合。