字典树(Trie、prefix tree)及其应用（求一个数组中的最大异或值)

trie，又称前缀树或字典树，是一种有序树，用于保存关联数组，其中的键通常是字符串。与二叉查找树不同，键不是直接保存在节点中，而是由节点在树中的位置决定。一个节点的所有子孙都有相同的前缀，也就是这个节点对应的字符串，而根节点对应空字符串。一般情况下，不是所有的节点都有对应的值，只有叶子节点和部分内部节点所对应的键才有相关的值（字符串结尾的那个结点）。

trie中的键通常是字符串，但也可以是其它的结构。trie的算法可以很容易地修改为处理其它结构的有序序列，比如一串数字或者形状的排列。比如，求数组中的任意2个数的最大异或值(接下来例子会介绍)。

trie本质上是一种用空间换时间的数据结构，通过字符串的公共前缀来减少查询时间，trie的插入和查找的时间都为O(k)（设插入和查找字符串长度为k），缺点就是空间复杂度会比较高。

trie根结点不包含任何字符，除根节点外每个结点有一个字符，从根节点到某一个结点的路径结点的值串联起来，就构成了该字符串

trie主要有这么几种操作：
一、插入：
对于一个字符串，从trie的根节点开始寻找字符串的第一个字母，如果找到，就从找到的这个节点开始寻找第2个字母，这样一直寻找，知道把字符串 遍历完，若没有找到，则新建一个节点，节点的值赋值为字符串的这个字母。

二、查找：
从根结点按照字符串字母的顺序遍历，如果遍历完字符串，且该节点标记为结束的符号标记为true, 查找成功，否则，失败。

#include<iostream>#include<vector>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;class TrieNode {public:    char content;   // the character included    bool isend;     // if the node is the end of a word    int shared;     // the number of the node shared ,convenient to implement delete(string key), not necessary in this problem    vector<TrieNode*> children; // the children of the node                                // Initialize your data structure here.    TrieNode() :content(' '), isend(false), shared(0) {}    TrieNode(char ch) :content(ch), isend(false), shared(0) {}    TrieNode* subNode(char ch) {        if (!children.empty()) {            for (auto child : children) {                if (child->content == ch)                    return child;            }        }        return nullptr;    }    ~TrieNode() {        for (auto child : children)            delete child;    }};class Trie {public:    Trie() {        root = new TrieNode();    }    // Inserts a word into the trie.    void insert(string s) {        if (search(s)) return;        TrieNode* curr = root;        for (auto ch : s) {            TrieNode* child = curr->subNode(ch);            if (child != nullptr) {                curr = child;            }            else {                TrieNode *newNode = new TrieNode(ch);                curr->children.push_back(newNode);                curr = newNode;            }            ++curr->shared;        }        curr->isend = true;    }    // Returns true if the key is in the trie.    bool search(string key) {        TrieNode* curr = root;        for (auto ch : key) {            curr = curr->subNode(ch);            if (curr == nullptr)                return false;        }        return curr->isend == true;    }    // Returns if there is any word in the trie    // that starts with the given prefix.    bool startsWith(string prefix) {        TrieNode* curr = root;        for (auto ch : prefix) {            curr = curr->subNode(ch);            if (curr == nullptr)                return false;        }        return true;    }    ~Trie() {        delete root;    }private:    TrieNode* root;};int main(){    int t, n;    Trie *obj = new Trie();    obj->insert("aaa");    obj->insert("aba");    obj->insert("abcd");    obj->insert("hidgwrg");    obj->insert("haha");    if (obj->search("abcd"))        cout << "find!" << endl;    else        cout << "not find!" << endl;    return 0;}

   应用，trie一般用于字符串检索等，可以加快检索速度，还有就是类似，给定一个数组，求该数组中任意2个数的最大异或值。   那我们怎么求呢，假设数组中的每个数都小于2^32,   那我们可以把数组中的数看成32位数组成的0101这样的一个数，  比如5  可以表示成000...101, 那我们求与其取异或最大值的数在trie树种就很容易求了， 因为5的第一位为0，那我们首先在trie数中找以1开头的(因为1与0异或为1)，每一位就找与当前位相反的(如果没有相反就找相同的，一直到查找完成。如果在某一个位置trie树没有子树了，那么这个位置的值就是对于该查找数的最大异或值，这样对于每一个数，最多查找32次就OK)， 这样用贪心法就很容易完成了。   如果不考虑建trie树的时间，求n个数组中两两异或的最大值需要计算O(n*32)次，而暴力则需要O（n*n）次，可以看出trie树可以大大减少查询时间。

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int MAXN = 100005;long long a[MAXN];struct Trie {    int son[MAXN * 13][2], cnt;//    void init()    {        memset(son, 0, sizeof(son));        cnt = 0;    }    void insert(long long a)    {        int x = 0, alp;//x代表每个节点的标号, 其下一个节点的编号为son[x][0]或son[x][1]        for (int i = 31; i >= 0; i--)        {            alp = (a >> i) & 1;            if (!son[x][alp])                 son[x][alp] = ++cnt;//如果这个节点没有孩子节点就创建它            x = son[x][alp];//将指针后移        }    }    long long find(int a)    {        int x = 0, alp;        long long ret = 0;        for (int i = 31; i >= 0; i--)        {            alp = !((a >> i) & 1);  //取反查找            ret <<= 1;     //因为是按照位的，所以是*2            if (son[x][alp])            {                x = son[x][alp];                ret++;//如果和原来的那一为相反的存在的话，返回值就加上，并且在这个支路走            }            else                 x = son[x][!alp];  //按照相同的顺序找        }        return ret;    }}trie;int main(){    int t, n;    cin>>t;    while (t--)    {        trie.init();        cin>>n;        for (int i = 1; i <= n; i++)        {            cin >> a[i];            trie.insert(a[i]);        }        long long  ans = -1;        for (int i = 1; i <= n; i++)             ans = max(ans, trie.find(a[i]));        printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}