近端梯度法（Proximal Gradient Method ，PG）

算法简介

  近端梯度法是一种特殊的梯度下降方法，主要用于求解目标函数不可微的最优化问题。如果目标函数在某些点是不可微的，那么该点的梯度无法求解，传统的梯度下降法也就无法使用。PG算法的思想是，使用临近算子作为近似梯度，进行梯度下降。

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概念定义

临近算子（proximity operator）

proxf(x)=argminy∈Rnf(y)+12||x−y||2

  其中函数f可能是非光滑（即不可微）的。临近算子是对梯度的延伸，当函数f为光滑函数时，该临近算子就是梯度。

Morean信封（Morean envelope）

ef(x)=miny∈Rnf(y)+12||x−y||22

  （这个玩意儿好像现在挺火，不过下文貌似没用到）

集合X的指示函数（indicator function of X）

lX(x)={0,x∈X∞,x∉X

  其中X是一个凸集合。利用指示函数，我们可以将有约束问题写成无约束问题,如下：

minx∈Xg(x)⟺minx∈Rng(x)+lX(x)

  当x不在X中，等式为无穷大，因此x肯定不是最优值。因此就等于限定了x在凸集合X中。

投影算子（projection operator）

projX(x)=argminy∈X||y−x||2=argminy∈RnlX(x)+12||y−x||2

  当f(x)=lX(x)时，projx(x)=proxf(x)。

  解释一下这里投影的含义：一个点x在集合X上的投影，就是X上离x的欧几里得距离最近的点。如下图：

  此外，关于投影算子还有以下结论：

||proxf(x)−proxf(y)||≤||x−y||,∀x,y

  也就是，2个在集合外的点x，y之间的距离，一定大于这两点在凸集合X上的投影的距离，如下图所示（L2≥L1）：

近端梯度（proximal gradient）

  设f(x)=f0(x)+f1(x)，其中f0,f1为凸函数，f1为光滑函数，那么近端梯度

∇̃ f(x)=x−proxf0(x−∇f1(x))

  其中：

proxf0(z)=argminy∈Xf0(y)+12||z−y||2

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近端梯度法流程

  目标函数：minx∈Rnf(x)=f0(x)+f1(x)f1非光滑，f2光滑

迭代 r = 0，1，2，…

  xr+1=proxαrf0[xr−αr∇f1(xr)]

• 当f0=0⇒梯度下降法
• 当f1=0⇒近端点法

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算法改进

最优性条件(Optimality Condition)：

x∗=argminX{f0(x)+<∇f1(x∗),x−x∗>+12α||x−x∗||2}

PG 迭代函数：

xr+1=argminX{f0(x)+<∇f1(xr),x−xr>+12αr||x−xr||2}

Bregman Distance

  我们定义强凸可微函数μ(x),那么我们可以用Bregman Distance代替上面的2范数。Bregman Distance 函数如下：

B(x,y)=μ(x)−μ(y)−<∇μ(y),x−y>

• 对于所有x，y，有B(x,y)≥0，且 B(x,y)=0, iff x=y 。因此B(x,y)是一种近端测量。

• Bregman Distance 不满足对称性：B(x,y)≠B(y,x)。通过缩放我们可以假定
  

  B(x,y)≥12||x−y||2,∀x,y

• 如果μ(x)=12||x||2，那么B(x,y)=12||x−y||2

近端梯度下降法流程

  目标函数：minx∈Rnf(x)=f0(x)+f1(x)f1非光滑，f2光滑

迭代 r = 0，1，2，…

  xr+1=argminx∈X{f0(x)+<∇f1(xr),x−xr>+12αrB(x,xr)}

  当x∈Xand||x−x∗||≤Dandf(x)≤f(x0)andf(x0)−f(x∗)≤2LD2时，迭代结束，跳出循环。