【编程之美】读书笔记：寻找最大的K个数

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问题：查找大量无序元素中最大的K个数。

         解法一：该解法是大部分能想到的，也是第一想到的方法。假设数据量不大，可以先用快速排序或堆排序，他们的平均时间复杂度为O(N*logN),然后取出前K个，时间复杂度为O(K)，总的时间复杂度为O(N*logN)+O(K).
        当K=1时，上面的算法的时间复杂度也是O(N*logN)，上面的算法是把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有限，也不需要后N-K个数有序。可以通过部分排序算法如选择排序和交换排序，把N个数中的前K个数排序出来，复杂度为O(N*K),选择哪一个，取决于K的大小，在K(K<logN)较小的情况下，选择部分排序。

/*将数组a[s]...a[t]中的元素用一个元素划开，保存中a[k]中*/  void partition(int a[], int s,int t,int &k)    {        int i,j,x;        x=a[s];    //取划分元素         i=s;        //扫描指针初值         j=t;        do        {            while((a[j]<x)&&i<j) j--;   //从右向左扫描,如果是比划分元素小，则不动          if(i<j) a[i++]=a[j];           //大元素向左边移             while((a[i]>=x)&&i<j) i++;      //从左向右扫描，如果是比划分元素大，则不动           if(i<j) a[j--]=a[i];            //小元素向右边移             }while(i<j); //直到指针i与j相等      a[i]=x;      //划分元素就位     k=i;    }    /*查找数组前K个最大的元素，index:返回数组中最大元素中第K个元素的下标(从0开始编号),high为数组最大下标*/  int FindKMax(int a[],int low,int high,int k)  {        int q;  int index=-1;     if(low < high)          {            partition(a , low , high,q);            int len = q - low + 1; //表示第几个位置              if(len == k)             index=q; //返回第k个位置             else if(len < k)              index= FindKMax(a , q + 1 , high , k-len);              else           index=FindKMax(a , low , q - 1, k);          }        return index;    }  int main()  {       int a[]={20,100,4,2,87,9,8,5,46,26};        int Len=sizeof(a)/sizeof(int);        int K=4;   FindKMax(a , 0 , Len- 1 , K) ;          for(int i = 0 ; i < K ; i++)          cout<<a[i]<<" ";     return 0;  }  

         解法二：(掌握)避免对前K个数进行排序来获取更好的性能(利用快速排序的原理)。
        假设N个数存储在数组S中，从数组中随机找一个元素X，将数组分成两部分Sa和Sb.Sa中的元素大于等于X,Sb中的元素小于X。
    出现如下两种情况：
   (1)若Sa组的个数大于或等于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字 。
   (2)若Sa组中的数字小于K ，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字 。
   一直这样递归下去，不断把问题分解成小问题，平均时间复杂度为O(N*logK)。
   代码如下： co

         解法三:(掌握)用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中的最小的一个。每次扫描一个数据X，如果X比堆顶元素Y小，则不需要改变原来的堆。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶元素Y，在替换之后，X可能破坏了最小堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质。调整过程时间复杂度为O(logK)。 全部的时间复杂度为O(N*logK)。
          这种方法当数据量比较大的时候，比较方便。因为对所有的数据只会遍历一次，第一种方法则会多次遍历数组。 如果所查找的K的数量比较大。可以考虑先求出k` ，然后再求出看k`+1 到 2 * k`之间的数据，然后一次求取。
  
  代码如下：

void heapifymin(int Array[],int i,int size)   {      if(i<size)   {    int left=2*i+1;    int right=2*i+2;    int smallest=i;//假设最小的节点为父结点    //确定三个结点中的最大结点    if(left<size)    {     if(Array[smallest]>Array[left])      smallest=left;    }    if(right<size)    {            if(Array[smallest]>Array[right])      smallest=right;    }      //开始交换父结点和最大的子结点         if(smallest!=i)      {       int temp=Array[smallest];       Array[smallest]=Array[i];       Array[i]=temp;       heapifymin(Array,smallest,size);//对调整的结点做同样的交换      }   }   }    //建堆过程，建立最小堆,从最后一个结点开始调整为最小堆  void min_heapify(int Array[],int size)   {    int i;    for(i=size-1;i>=0;i--)     heapifymin(Array,i,size);       }   //k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆  void FindMax(int Array[],int k,int size,int kMax[])  {      for(int i=0;i<k;i++)     kMax[i]=Array[i];   //对kMax中的元素建立最小堆     min_heapify(kMax,k);   printf("最小堆如下所示 : \n");  for(i=0;i<k;i++)  printf("%4d",kMax[i]);  printf("\n");     for(int j=k;j<size;j++)    {       if(Array[j]>kMax[0]) //如果最小堆的堆顶元素，替换    {          int temp=kMax[0];    kMax[0]=Array[j];       Array[j]=temp;    //可能破坏堆结构，调整kMax堆    min_heapify(kMax,k);    }          }         }    int main()  {         int a[]={10,23,8,2,52,35,7,1,12};   int length=sizeof(a)/sizeof(int);        //最大四个元素为23,52,35,12  /***************查找数组中前K个最大的元素****************/   int k=4;   int * kMax=(int *)malloc(k*sizeof(int));   FindMax(a,k,length,kMax);       printf("最大的%d个元素如下所示 : \n",k);      for(int i=0;i<k;i++)          printf("%4d",kMax[i]);   printf("\n");   return 0;  }  

         解法四：这也是寻找Ｎ个数中的第Ｋ大的数算法。利用二分的方法求取TOP k问题。 首先查找 max 和 min，然后计算出mid = (max + min) / 2该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。该算法在实际应用中效果不佳。

 const int N = 8 ;     const int K = 4 ;          /*   利用二分的方法求取TOP k问题。   首先查找 max 和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2   该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。          */          int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数       {         int sum = 0 ;                  for(int i = 0 ; i < N ; i++ )         {             if(a[i] >= x)              sum++ ;                         }          return sum ;     }             int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字       {         while(max - min > 1)             //max - min的值应该保证比两个最小的元素之差要小            {            int mid = (max + min) / 2 ;            int num = find(a , mid) ;    //返回比mid大的数字个数              if(num >= K)                 //最大的k个数目都要比min值大                 min = mid ;                           else               max = mid  ;          }          cout<<"end"<<endl;          return min ;     }          int main()     {       int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ;         int x = getK(a , 554 , 2) ;        cout<<x<<endl ;        getchar() ;        return 0 ;         }  

          解法五：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到第K大的元素。
代码如下：

for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v--)    {           cumCount += count[v];           if(sumCount >= k)                break;    }    return v;  

  扩展问题：

1.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
     解答：除了解法五不行，其他的都可以。因为最后一种需要是正数。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
       解答：可以用小根堆来先求出m个最大的，然后从中输出k到m个。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
   解答：(解法三)用堆排序当每一个网页权重更新的时候，更新堆。

 举一反三：查找最小的K个元素

    解答：最直观的方法是用快速排序或堆排序先排好，在取前K小的数据。最好的办法是利用解法二和解法三的原理进行查找。