SG函数详解

许多部分资料摘自百度百科

定义

给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。

定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy(SG)函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

性质

①：没有出边的点（就是走不了的点）SG值为0。

②：对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有前驱y都满足 g(y)!=0。

③：对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

（都挺显然的吧。。。）

先决条件

建议在看SG函数之前先学会Nim游戏，或者可以看看博主的Blog。

本质

SG函数本质就是Nim游戏。

让我们把一颗棋子推广到n颗棋子。

当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也 就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、1、……、k-1，但绝对不能保持k不变。这与Nim游戏中取石子的情况非常相似：对于一堆石子，我们可以把它取成0~k-1个，但绝不可能不取。

那么我们是否可以这么考虑：将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略。对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,…,an)，再设局面(a1,a2,…,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai 变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。

证明和Nim很相似。

问题求解

既然SG函数和Nim是一样的，那么不难推出判断必胜策略的条件：

当游戏的SG异或和=0时先手必败，否则先手必胜。

然后就和Nim一样做啦！