瑞利、莱斯分布与窄带过程

一、瑞利分布（Rayleigh Distribution）

瑞利分布的概率密度：

期望：

即均值

方差：

即方差：

二、莱斯分布（Rice Distribution）

概率密度函数：

莱斯分布实际上可以理解为主信号与服从瑞利分布的多径信号分量的和。概率密度函数公式中，R即为正弦（余弦）信号加窄带高斯随机信号的包络，参数A是主信号幅度的峰值，σ^2是多径信号分量的功率，

  

()是修正的0阶第一类贝塞尔函数。

三、窄带随机过程与瑞利分布

通信系统中都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

下图中，波形的中心频率为fc，带宽为△f，当满足三角f<<fc时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器之后编程窄带随机过程。

如上图，若在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，因此窄带随机过程可用下式表示：

是窄带随机过程的包络，是窄带随机过程的随机相位。这种表示法也叫做相位-包络法。

窄带过程也可以用下式表示：

其中：

这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。这种表示法也叫同相-正交法。

3.包络和相位的统计特性与瑞利分布

随机包络和随机相位可表示为：

利用概率论知识可求得包络的概率密度函数，这里不在赘述证明过程。可得到包络的概率密度函数为：

这便是瑞利分布的表达式，即服从瑞利分布。

瑞利分布的最大值发生在处，其值为。

也可求出相位的概率密度函数为：

可见，随机相位在内服从均匀分布。

所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是统计独立的。

四、正弦波加窄带高斯噪声与莱斯分布

信号经过信道传输后总会收到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的而混合波形。最常见的是这年波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。

设合成信号为

式中，为窄带高斯噪声。那么有：

式中

合成信号r（t）的包络和相位为：

若θ值已定，那么zc(t)与zs(t)是相互独立的高斯随机变量，且有

利用概率论的知识可以求出正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数：

上式存在两种极限情况：

相位分布由于较为复杂不再给出表达式，它同样也与信噪比有关：小信噪比时接近于均匀分布，反应窄带高斯噪声为主；大信噪比主要集中在有用信号相位附近，下图为不同r值时的f(φ)曲线。