【矩阵论】单射、满射与双射

映射；Mapping

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映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映射。其中，A中的元素称为原像，B中的元素称为A中元素的像（image）。

单射、满射与双射；Injection, surjection and bijection

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单射：在英语中称为injection或one to one。设A和B是两个非空集合，F是一个映射。如果对B中任一元素，若A中有其原像，则其在A中的原像有且仅有一个，就称F为一个从A到B的单射。

即单射只能一对一，不能多对一。

F：A→B is injection if and only if
∀a,b∈A, Then F(a)=F(b)⇒a=b

满射：在英语中称为surjection或onto。如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像。

F：A→B is surjection if and only if
∀b∈B, ∃a∈A such that F(a)=b

双射：在英语中称为为bijection。设A和B是两个非空集合，F是一个映射，如果对B中任一元素，依照映射F，A中都有其唯一的原像，就称F为一个从A到B的双射。

即对B中所有的元素，A中都存在其唯一原像。

F：A→B is bijection if and only if
∀b∈B, there is a unique a∈A such that F(a)=b

参考资料

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[1]百度百科：浅谈对应，映射，单射，双射，满射，函数
[2]维基百科：单射、双射与满射