Duan2baka的各种LCA模板！

（这篇文章是模板向…了解具体思想还是看网上其他详细讲解吧QAQ）

LCA,即最近公共祖先，是在有根树中两个点最近的公共祖先，在树上问题中非常有用QAQ

常用LCA求法:

一、树链剖分LCA

树链剖分LCA，顾名思义，就是用树链剖分求LCA，两个节点从各自的重链往上跳，跳到一条重链上LCA就为上面的那个点
复杂度O(n−qlog(n))

模板代码：(*题为Codevs 2370)

#include<algorithm>#include<ctype.h>#include<cstdio>#define N 80050using namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char c;    do {c=getchar();if(c=='-') f=-1;} while(!isdigit(c));    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));    return x*f;}int n,m,x,y,k,Top;int fir[N],top[N],son[N],size[N],dep[N],dis[N],fa[N];struct Edge{    int to,nex,k;    Edge(int _=0,int __=0,int ___=0):to(_),nex(__),k(___){}}nex[N<<1];inline void add(int x,int y,int k){    nex[++Top]=Edge(y,fir[x],k);    fir[x]=Top;}void dfs1(int x,int Dep,int Fa,int Dis){//剖1    dep[x]=Dep;fa[x]=Fa;dis[x]=Dis;    size[x]=1;    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==Fa) continue;        dfs1(nex[i].to,Dep+1,x,Dis+nex[i].k);        size[x]=size[x]+size[nex[i].to];        if(size[son[x]]<size[nex[i].to]) son[x]=nex[i].to;    }}void dfs2(int x,int Top){//剖2    top[x]=Top;    if(!son[x]) return;    dfs2(son[x],Top);    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==fa[x] || nex[i].to==son[x]) continue;        dfs2(nex[i].to,nex[i].to);    }}inline int Query(int x,int y){//往上跳    int sum=0;    while(top[x]!=top[y]){        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);        sum=sum+dis[x]-dis[fa[top[x]]];        x=fa[top[x]];    }    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);    sum=sum+dis[y]-dis[x];    return sum;}int main(){    n=read();    for(int i=1;i<n;i++){        x=read()+1;y=read()+1;k=read();        add(x,y,k);add(y,x,k);    }    dfs1(1,1,0,0);dfs2(1,1);    m=read();    for(int i=1;i<=m;i++){        x=read()+1;y=read()+1;        printf("%d\n",Query(x,y));    }return 0;}

二、倍增LCA

考虑一个比较暴力的做法，即先让深的点慢慢爬到和另一个点高度相同，然后一起往上爬只到爬到一起，显然这样太暴力了，倍增LCA就是对其的一种优化
在每次爬的过程中，这次爬218，下次爬217，直到爬到一起，显然这种优化效果是非常可观的
复杂度O(n−q∗log(n))

模板代码如下：

#include<algorithm>#include<ctype.h>#include<cstdio>#define N 80050using namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char c;    do {c=getchar();if(c=='-') f=-1;} while(!isdigit(c));    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));    return x*f;}int n,m,x,y,k,Top;int fir[N],f[25][N],s[25][N],dep[N];struct Edge{    int to,nex,k;    Edge(int _=0,int __=0,int ___=0):to(_),nex(__),k(___){}}nex[N<<1];inline void add(int x,int y,int k){    nex[++Top]=Edge(y,fir[x],k);    fir[x]=Top;}void dfs(int x,int fa,int dis,int Dep){    f[0][x]=fa;s[0][x]=dis;dep[x]=Dep;    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==fa) continue;        dfs(nex[i].to,x,nex[i].k,Dep+1);    }}inline int Query(int x,int y){    int sum=0;    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);    for(int i=18;i>=0;i--)        if(dep[f[i][x]]>=dep[y]){            sum=sum+s[i][x];            x=f[i][x];        }    if(x==y) return sum;//跳到一起就不跳了    for(int i=18;i>=0;i--)        if(f[i][x]!=f[i][y]){            sum=sum+s[i][x]+s[i][y];            x=f[i][x];y=f[i][y];        }    return sum+s[0][x]+s[0][y];}int main(){    n=read();    for(int i=1;i<n;i++){        x=read()+1;y=read()+1;k=read();        add(x,y,k);add(y,x,k);    }    dfs(1,0,0,1);    for(int j=1;j<=17;j++)        for(int i=1;i<=n;i++){            f[j][i]=f[j-1][f[j-1][i]];            s[j][i]=s[j-1][f[j-1][i]]+s[j-1][i];        }    m=read();    for(int i=1;i<=m;i++){        x=read()+1;y=read()+1;        printf("%d\n",Query(x,y));    }return 0;}

三、ST表

ST表是基于dp上的一种rmp算法..大概就是要求x和y的LCA为欧拉序中x与y中深度最小的那个点，具体证明还是看网上神犇们的题解吧orz…
复杂度O(n∗log(n)−q)

模板代码如下：

#include<algorithm>#include<ctype.h>#include<cstdio>#include<cmath>#define N 800050using namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char c;    do {c=getchar();if(c=='-') f=-1;} while(!isdigit(c));    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));    return x*f;}int n,m,x,y,k,top;int fir[N],s[N<<1],dep[N],fa[N],loc[N],dis[N];int f[25][N];struct Edge{    int to,nex,k;    Edge(int _=0,int __=0,int ___=0):to(_),nex(__),k(___){}}nex[N<<1];inline void add(int x,int y,int k){    nex[++top]=Edge(y,fir[x],k);    fir[x]=top;}void dfs(int x,int Dep,int Fa,int Dis){    fa[x]=Fa;dis[x]=Dis;    s[++top]=x;dep[top]=Dep;    loc[x]=top;    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==Fa) continue;        dfs(nex[i].to,Dep+1,x,Dis+nex[i].k);        s[++top]=x;dep[top]=Dep;    }}inline void init(){    for(int i=1;i<=top;i++) f[0][i]=i;    for(int j=1;j<=18;j++)        for(int i=1;i<=top;i++){            if(dep[f[j-1][i]]>dep[f[j-1][i+(1<<(j-1))]])                f[j][i]=f[j-1][i+(1<<(j-1))];            else f[j][i]=f[j-1][i];        }}inline int rmq(int l,int r){    int tmp=0;    while((1<<(tmp+1))<=r-l+1)///手动log2        tmp++;    if(dep[f[tmp][l]]>dep[f[tmp][r-(1<<tmp)+1]]) return f[tmp][r-(1<<tmp)+1];    return f[tmp][l];//这个预处理的过程神烦}inline int Query(int x,int y){    if(loc[x]>loc[y]) swap(x,y);    return s[rmq(loc[x],loc[y])];}int main(){    n=read();    for(int i=1;i<n;i++){        x=read()+1;y=read()+1;k=read();        add(x,y,k);add(y,x,k);    }    top=0;    dfs(1,1,0,0);    init();    m=read();    for(int i=1;i<=m;i++){        x=read()+1;y=read()+1;        printf("%d\n",dis[x]+dis[y]-dis[Query(x,y)]*2);    }return 0;}

四、Tarjan求LCA

又是Tarjan…
Tarjan求LCA是这几个算法中唯一一个离线算法，复杂度极优
算法思想大致是随便从一个点走遍历所有子树后把所有子树的fa都改为这个点，如果遍历完x时y已经走过了，则他俩的LCA就是y的祖先(find(y))
复杂度O(n−q)

模板代码如下：

#include<ctype.h>#include<cstdio>#define N 80050using namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char c;    do {c=getchar();if(c=='-') f=-1;} while(!isdigit(c));    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));    return x*f;}int n,m,x,y,k,top,Top;int fa[N],dis[N],fir[N],Fir[N],f[N],ans[N],fx[N],fy[N];bool b[N];struct Edge{    int to,nex,k;    Edge(int _=0,int __=0,int ___=0):to(_),nex(__),k(___){}}nex[N*2],Nex[N*2];void dfs(int x,int Dis,int Fa){    fa[x]=Fa;dis[x]=Dis;    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==Fa) continue;        dfs(nex[i].to,nex[i].k+Dis,x);    }}inline void add(int x,int y,int k,int &top,int fir[],Edge nex[]){    nex[++top]=Edge(y,fir[x],k);    fir[x]=top;}int find(int x){return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]);}inline void link(int x,int y){    int fx=find(x),fy=find(y);    f[fx]=fy;}void Tarjan(int x){    b[x]=true;    for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){        if(nex[i].to==fa[x]) continue;        Tarjan(nex[i].to);        link(nex[i].to,x);    }    for(int i=Fir[x];i;i=Nex[i].nex)        if(b[Nex[i].to])            ans[Nex[i].k]=find(Nex[i].to);}int main(){    n=read();    for(int i=1;i<n;i++){        x=read()+1;y=read()+1;k=read();        add(x,y,k,top,fir,nex);add(y,x,k,top,fir,nex);        f[i]=i;    }    f[n]=n;    dfs(1,0,0);    m=read();    for(int i=1;i<=m;i++){        x=read()+1;y=read()+1;        fx[i]=x;fy[i]=y;        add(x,y,i,Top,Fir,Nex);add(y,x,i,Top,Fir,Nex);    }    Tarjan(1);    for(int i=1;i<=m;i++){        printf("%d\n",dis[fx[i]]+dis[fy[i]]-2*dis[ans[i]]);    }return 0;}