其他题目---蓄水池算法

【题目】

　　有一个机器按自然数顺序的方式吐出球（1号球、2号、3号…），你有一个袋子，袋子最多只能装下K个球，并且除此之外你没有更多的空间。设计一种选择方式，使得当机器吐出第N号球的时候（N > K），你袋子中球的个数是K个，同时保证从1号球到N号球中的每一个，被选进袋子的概率是K/N。

【基本思路】

　　这道题的核心解法就是蓄水池算法。过程如下：
　　1、将第1～k个球直接放入袋子
　　2、处理第i号球时(i > k)，以k/i的概率决定是否将第i号球放入袋子中。如果不决定放入袋子，直接扔掉第i号球；否则，在袋子中随机选择一个扔掉，然后放入第i号球
　　3、重复步骤2直到 i == N

　　证明：

　　对于第i号球进袋子的分析分两部分：

　　1、当1≤i≤k时，那么在选第k+1号球时，第i号球留在袋子中的概率是1。

　　在选第k+1号球的时候，只有决定第k+1号球入袋，并且第i号球正好被随机选中的时候，第i号球才会被淘汰。所以第i号球被淘汰的概率是p=kk+1∗1k，所以第i号球留下来的概率就是1−p=kk+1。那么从第1号球到第K+1号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是kk+1

　　同理，在选第k+2号球的时候，第i号球被淘汰的概率是p=kk+2∗1k，所以第i号球留下来的概率就是1−p=k+1k+2。那么从第1号球到第K+2号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是kk+1∗k+1k+2。

　　依次类推，在选第N号球的时候，从第1号球到第N号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是kk+1∗k+1k+2∗...N−1N=kN。

　　2、当k<i时，那么在选第i号球时，第i号球留在袋子中的概率是k/i。

　　在选第i+1号球的时候，只有决定第i+1号球入袋，并且第i号球正好被随机选中的时候，第i号球才会被淘汰。所以第i号球被淘汰的概率是p=ki+1∗1k=1i+1，所以第i号球留下来的概率就是1−p=ii+1。那么从第i号球被选中到第i+1号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是ki∗ii+1

　　同理，在选第i+2号球的时候，第i号球被淘汰的概率是p=ki+2∗1k，所以第i号球留下来的概率就是1−p=i+1i+2。那么从第i号球到第i+2号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是ki∗ii+1∗i+1i+2。

　　依次类推，在选第N号球的时候，从第i号球到第N号球的过程中，第i号球最终留下来的概率是ki∗ii+1∗...N−1N=kN。

　　所以，按照该方法，当吐出球数为Ｎ时，每一个球被选进袋子的概率都是K/N。

【代码实现】

#python3.5def getKNumRand(k, max):    def rand(max):        return int(random.random() * max) + 1    if k < 1 or max < 1:        return None    res = []    for i in range(k):        res.append(i+1)    for i in range(k+1, max+1):        if rand(i) <= k:            res[rand(k)-1] = i    return res