容斥原理 集合计数

问题 J: 集合计数
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB
题目描述
一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）
输入
一行两个整数N,K
输出
一行为答案。
样例输入
3 2
样例输出
6
提示
【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

当前集合的数量为2^n个。然后我们固定k个元素为交集，也就是这k个元素必选，集合数量还剩下2^(n-k)个。选择方案总数就是2^(2^(n-k))。再枚举k,总方案C(n,k)*2^(2^(n-k))，很明显会出现重复的情况。以此类推，有k+1个交集的情况就是C(n,k+1)*2(2^(n-k-1))把k+1的剪掉，把k+2的再加回来。。。但是注意要枚举是哪一部分重了。
最终方案是 C(n,k)*2^(2^(n-k))-C(n,k+1)*2^(2^(n-k-1))*C(k+1,k)+…..
阶乘预处理，逆元预处理，2^(2^a)==2((2^a)%phi(mod)-phi(mod))。2的幂%phi(mod)预处理。。。。就会很快了。

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#define p 1000000007#define N 1000000#define ll long longusing namespace std;int n,k;ll ans,a[N+5],b[N+5],xp[N+5];ll cheng(ll x,ll m）{llans=1;for(;m;m>>=1,x=x*x%p)if(m&1)ans=ans*x%p;return ans;}ll C(int n,int m){return (a[n]*b[m]%p)*b[n-m]%p;}void init(){    a[0]=b[0]=xp[0]=1;    for(ll i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]*i%p;    for(int i=1;i<=n-k;i++)xp[i]=xp[i-1]*2ll%(p-1);    b[n]=cheng(a[n],p-2);    for(ll i=n-1;i>=1;i--)b[i]=b[i+1]*(i+1)%p;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    init();    for(ll i=k,f=1;i<=n;i++,f=-f)        ans=(ans+f*C(i,k)*cheng(2,xp[n-i])%p*C(n,i)%p+p)%p;    printf("%lld\n",ans);}