左偏树·补

又在洛谷发现一些好东西~~~就直接粘过来了

源地址：https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P3377

在学OI的前期，我们接触了一种数据结构，叫做堆。它资瓷插入一个元素，查询最小/大元素和删除最小/大元素。然后就发现STL的$priorityqueue$可以直接用，非常的方便。

但是有时候题目让我们资瓷两个堆的合并，这样$priorityqueue$就不行了(但是pb_ds还是可以的)。这样我们就要手写左偏树。

什么是左偏树呢？首先，从名字上看，它是一棵树。其实它还是一棵二叉树。它的节点上存4个值：左、右子树的地址，权值，距离。

权值就是堆里面的值。距离表示这个节点到它子树里面最近的叶子节点的距离。叶子节点距离为0。

既然是一种特殊的数据结构，那肯定有它自己的性质。左偏树有几个性质(小根为例)。

> 性质一：节点的权值小于等于它左右儿子的权值。

堆的性质，很好理解。

> 性质二：节点的左儿子的距离不小于右儿子的距离。

在写平衡树的时候，我们是确保它的深度尽量的小，这样访问每个节点都很快。但是左偏树不需要这样，它的目的是快速提取最小节点和快速合并。所以它并不平衡，而且向左偏。但是距离和深度不一样，左偏树并不意味着左子树的节点数或是深度一定大于右子树。

> 性质三：节点的距离等于右儿子的距离+1。

没什么好说的= =

> 性质四：一个n个节点的左偏树距离最大为$log(n+1)-1$

这个怎么证明呢？我们可以一点一点来。

若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。

节点最少的话，就是左右儿子距离一样，这就是完全二叉树了。

若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有$2^{k+1}-1$个节点。

距离为k的完全二叉树高度也是k，节点数就是$2^{k+1}-1$。

这样就可以证明性质四了。因为$n>=2^{k+1}-1$，所以$k<=log(n+1)-1$

有了性质，我们来讲讲它的操作。

1.合并

<center></center>

我们假设A的根节点小于等于B的根节点（否则交换A,B），把A的根节点作为新树C的根节点，剩下的事就是合并A的右子树和B了。

<center></center>

合并了A的右子树和B之后，A的右子树的距离可能会变大，当A的右子树 的距离大于A的左子树的距离时，性质二会被破坏。在这种情况下，我们只须要交换A的右子树和左子树。

而且因为A的右子树的距离可能会变，所以要更新A的距离=右儿子距离+1。这样就合并完了。

<center></center>

我们来分析一下复杂度。我们可以看出每次我们都把它的右子树放下去合并。因为一棵树的距离取决于它右子树的距离(性质三)，所以拆开的过程不会超过它的距离。根据性质四，不会超过$log(n_x+1)+log(n_y+1)-2$，复杂度就是$O(\log n_x+\log n_y)$

2.插入

插入一个节点，就是把一个点和一棵树合并起来。

因为其中一棵树只有一个节点，所以插入的效率是$O(\log n)$

3.删除最小/大点

因为根是最小/大点，所以可以直接把根的两个儿子合并起来。

因为只合并了一次，所以效率也是$O(\log n)$。

题目：洛谷3377

题解：

#include <cstdio>
#define N 100010
using namespacestd;
int inline read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y,y=t;}
int ch[N][2],val[N],dis[N],f[N],n,m;
int merge(int x,int y){
    if (x==0 || y==0)
        return x+y;
    if (val[x]>val[y] || (val[x]==val[y] && x>y))
        swap(x,y);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
    f[ch[x][1]]=x;
    if (dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])
        swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
    return x;
}
int getf(int x){
    while(f[x]) x=f[x];
    return x;
}
void pop(int x){
    val[x]=-1;
    f[ch[x][0]]=f[ch[x][1]]=0;
    merge(ch[x][0],ch[x][1]);
}
main()
{
    n=read(),m=read();
    dis[0]=-1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        val[i]=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int com=read();
        if (com==1)
        {
            int x=read(),y=read();
            if (val[x]==-1 || val[y]==-1)
                continue;
            if (x==y)
                continue;
            int fx=getf(x),fy=getf(y);
            merge(fx,fy);
        }
        else
        {
            int x=read();
            if (val[x]==-1)
                puts("-1");
            else
            {
                int y=getf(x);
                printf("%d\n",val[y]);
                pop(y);
            }
        }
    }
}