HDU
来源:互联网 发布:json.parse在线解析 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 08:58
前几天的题了
以前没做过公式推矩阵快速幂的题,讲道理,我学东西真的是 惰性太强,学的很慢,还好,相对来说比较扎实,但是应该追求又快又好啊
然后场上见了这个题,完全没有思路,后来想到了 斐波那契数列 的矩阵快速幂,1小时后推出来了
公式推矩阵快速幂理解:
首先能用到矩阵快速幂的,是 一个数的 n 次方 对 mod 取模的题目,矩阵的话 就是这个数转化成了 矩阵而已
所以,要推矩阵快速幂 要推出一个 固定的矩阵,然后还要有一个初始矩阵,也就是初值,然后跟那个固定矩阵相乘多少次 可以得到答案,
也就到了问题的关键,就是要由一个公式 推出 第 n-1 项和第 n 项之间的关系(这个关系更体现在 共性的点之间的关系),也就是 一个递推的关系式
然后通过矩阵的运算,保证原始矩阵的第一行 都是关键元素,(这样说可能不好理解,下面会由这个题来解释一下)
******相如这个题******
固定矩阵:
1 1 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
4 0 4 1 0 0 0
6 0 6 3 1 0 0
4 0 4 3 2 1 0
1 0 1 1 1 1 1
初始矩阵:
f2 f1 16 8 4 2 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
我们可以由原式: F ( n ) = n ^ 4 + 2 * F( n - 2 ) + 1 * F( n - 1 )
推出 : F ( n ) = 1 * F( n - 1 ) + 2 * F( n - 2 ) + 1 * (n-1)^4 + 4 * (n-1)^3 + 6 * (n-1)^2 + 4*(n-1)^1 + 1 * 1 ;
其实 固定矩阵是由原始矩阵推出来了,知道原始矩阵的第一行就好了,
一般我们 就用 原始矩阵 (0,0)位置的元素作为答案,然后保证 原始矩阵对固定矩阵运算后,第一行的各元素 意义和开始的时候一样就行(保证下次运算可以的到新的答案)
----------------------这个看不懂 可以先自己手推一遍 fibonaci 的矩阵快速幂
#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 2147493647;int id;ll f1, f2;struct Matrix { ll a[10][10]; void setMatrix(ll v) { for(int i = 0; i < 7; ++i) for(int j = 0; j < 7; ++j) a[i][j] = v; } Matrix operator * (const Matrix& m2) { Matrix t; for(int i = 0; i < 7; ++i) { for(int j = 0; j < 7; ++j) { t.a[i][j] = 0; for(int k = 0; k < 7; ++k) { t.a[i][j] += (a[i][k] * m2.a[k][j]) % mod; t.a[i][j] %= mod; } } } return t; }}A, t, E;void init() { E.setMatrix(0); for(int i = 0; i < 7; ++i) E.a[i][i] = 1; A.setMatrix(0); t.setMatrix(0); t.a[0][0] = 1; t.a[0][1] = 1; t.a[1][0] = 2; t.a[2][0] = 1; t.a[2][2] = 1; t.a[3][0] = 4; t.a[3][2] = 4; t.a[3][3] = 1; t.a[4][0] = 6; t.a[4][2] = 6; t.a[4][3] = 3; t.a[4][4] = 1; t.a[5][0] = 4; t.a[5][2] = 4; t.a[5][3] = 3; t.a[5][4] = 2; t.a[5][5] = 1; t.a[6][0] = 1; t.a[6][2] = 1; t.a[6][3] = 1; t.a[6][4] = 1; t.a[6][5] = 1; t.a[6][6] = 1; scanf("%d %lld %lld", &id, &f1, &f2); if(id >= 3) { A.a[0][0] = f2%mod; A.a[0][1] = f1%mod; A.a[0][2] = 16; A.a[0][3] = 8; A.a[0][4] = 4; A.a[0][5] = 2; A.a[0][6] = 1; }}Matrix fast_pow(Matrix t, int n) { Matrix ans = E; while(n) { if(n&1) ans = ans * t; t = t * t; n /= 2; } return ans;}void solve() { if(id == 1) { cout << f1 << endl; return; } if(id == 2) { cout << f2 << endl; return; } t = fast_pow(t, id-2); A = A * t; cout << A.a[0][0] << endl;}int main() { int T; scanf("%d", &T); while(T--) { init(); solve(); } return 0;}
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