opencv学习一： Fourier变换

\Fourier变换在图像处理中意义重大。先将这几天学习的图像Fourier变换总结如下：

一：基础原理

1. 什么是Fourier变换：

在数学和物理中，或者更准确一点，数学物理方法中，把一个任意函数进行fourier变换的意义等价于把一个函数进行以平面波为基的展开。这和3维下把一个矢量按照x,y,z基展开是一样的，这一点陳先生已经说明了。不但可以按平面波展开，还可以按照球面波展开。只要保证你选取的基是完全且正交的即可（应该属于泛函分析的范畴，要考虑你函数空间的性质，定义norm等）

作者：曾博链接：https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/16020416来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。这是引用自勃勃的知乎上的一段解释。

1. 将图像信号从空间域转换到复频域 —— 二维离散Fourier变换：
   

   F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)∗e−j2π(uxM+vyN)
   
   其中：F(0,0)=∑M−1x=0∑N−1y=0f(x,y)，也就是说，对于一幅灰度图像而言，F(0,0)指代的是图像空间域的平均灰度。

   将信号从复频域转换到空间域 —— 二维离散Fourier反变换：
   

   f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1f(u,v)∗ej2π(uxM+vyN)

这两个公式是图像从空间域变换到频域的理论基础。随着FFT技术的发现，图像处理的运算量由O(n2)转变为O(n∗logn)（其中n*n为图像的空间维度）。因此可知，图像处理的运算量被大大减小了。

3.Python与openCV实现图像信号的Fourier变换：

import cv2 #导入cv2包import numpy as np #导入numpy包import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('E:\\python_opencv\\img_source\\lena.jpg',0) #直接读为灰度图像img_fourier = np.fft.fft2(img) #Fourier变换fshift = np.fft.fftshift(img_fourier) #将占据信号大多数的低频信号移到图像中间img_fourier_mag = np.log(np.abs(fshift)) #取幅度值，并降低结果对比度（以e为底取对数）img_fourier_back = np.fft.ifftshift(fshift)#将占据信号大多数的低频信号转移回到图像边缘img_back = np.fft.ifft2(img_fourier_back)#Fourier反变换img_back = np.abs(img_back)figure = plt.figure()#原图像fig1 = figure.add_subplot(131)fig1.imshow(img,'gray')plt.title('original')#Fourier变换后的频域fig2 = figure.add_subplot(132)fig2.imshow(img_fourier_mag, 'gray')plt.title('Fourier_space')#Fourier反变换后的图像part3 = figure.add_subplot(133)part3.imshow(img_back,'gray')plt.title('img_back')plt.show()

显示结果为：

由频域转换结果可知，对于细节不是非常多的图像（例如上面的lena图像），低频信号才是最主要的。高频信号只是少数。

4.图像转换到频域到后，相位有什么作用？

import cv2 #导入cv2包import numpy as np #导入numpy包import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('E:\python_opencv\img_source\lena.jpg',0) #直接读为灰度图像img_fourier = np.fft.fft2(img) #Fourier变换fshift = np.fft.fftshift(img_fourier) #将占据信号大多数的低频信号移到图像中间img_fourier_mag = np.log(np.abs(fshift)) #取幅度值，并降低结果对比度（以e为底取对数）figure = plt.figure()f2shift = np.fft.ifftshift(np.angle(fshift))img_phase_back = np.fft.ifft2(f2shift)#出来的是复数，无法显示img_phase_back = np.abs(img_phase_back)np.savetxt('b.txt', img_phase_back)#调整大小范围便于显示img_phase_back = (img_phase_back-np.amin(img_phase_back))/(np.amax(img_phase_back)-np.amin(img_phase_back)) #归一化，防止对比度太低时显示效果不好np.savetxt('c.txt', img_phase_back)figure = plt.figure()fig1 = figure.add_subplot(111)fig1.imshow(img_phase_back,'gray')plt.title('phase')plt.show()

显示结果为：

从图像可以明显看出来，从相位还原出来的图像可以大致得到图像的轮廓。